文档介绍：对勾函数反比例函数与双曲线方程
福建尤溪文公高级中学郑明淮
在初中数学里函数 y k (k 0) 叫反比例函数，它的图像是双曲线，两坐标轴是双曲
x
线的渐近线。而高中数学平面解析几何中的双曲线是以方程形式呈现
4k 解得： m
2k 。所以 y
k
( k 0) 的交点
c
x
坐标为 F1(
2k ,
2k ) 和 F2 (
2k ,
2k ) 。离心率 e
2 。
b
a
三、双曲线 y
ax
(ab
0)
的实轴、虚轴、顶点坐标、焦点坐标和离心率
b
x
双曲线
y
ax
(ab
0) 的两条渐近线方程为 x
0 和 y ax，在高中学生未系统
x
学习坐标系旋转相关知识的情况下，如何通过已有的知识来解决求双曲线的实轴和虚轴所在
的直线方程进而解决求顶点坐标、焦点坐标和离心率一系列问题
我们可以借助向量相关知识来确定实轴所在直线的斜率。以原点为起点取两渐近线的两
个单位方向向量，并使双曲线的实轴经过这两向量夹角。则这两个向量的和向量就是实轴的
方向向量。设该方向向量为
r
(u,
v) ，则实轴的斜率为
k
v
n
。
b
u
下面以双曲线 y
ax
(a
0, b
0) 为例来解决这一问题，其他情形可作类似解答。
x
r
(0, 1) ，
显然，双曲线的实轴经过第一象限。取两惭近线的单位方向量 n1
r
1
,
a
，则实轴的方向向量为
1
,
a2
1
a
，所以实轴的斜
n2
1
a2
a2 1 a2
a2 1
1
率为 k
a2
1
a ，又实轴过原点，可得实轴所在的直线方程为：
y
( a2
1 a) x 。
因为虚轴过原点且与实轴垂直，所以它的直线方程为：
y
(
a2
1
a) x 。
将实轴方程与双曲线方程联立可解得双曲线的两个顶点坐标为：
A
b
,
a2
1 a
b
， B
b
,
a2
1 a
b
a2 1
a2 1
a2 1