文档介绍：量纲作业
整理：夏伟光
1、 量纲是否就是单位？两者有何关系。
答:量纲不是单位。量纲表示物理量的基本属性。不同属性的物理量 具有不同的量纲。单位是用来对物理量度量的标准。
2、 "Dimension" 一词有什么涵义（从中看出其演变）
"Dimension"开始有“维数”的意思；后有“长度，尺寸”的意思, 指运动学、几何学上的概念；后来出现“量纲”的涵义，用来表示物 理量的基本属性。
3、 自由落体问题中，什么是基本量和导出量，单位系统如何选择， 选法是否唯一？
答：自由落体问题中含有三个变量：下落行程h,下落时间t,重力 加速度g。可以以h, g为基本量，t为导出量，以h, g为单位系统, 也可以选t, g为基本量，h为导出量。t, g为单位系统，选法不唯一。
4、 从物理上分析摆锤质量为何与单摆周期无关。
答：对于一个单摆，当摆长/一定时，摆球的位置由摆角a确定，摆 球的运动由重力加速度g决定，摆球的运动是一个纯运动学的问题， 与摆球的质量无关，所以摆球的周期与摆球的质量无关。
5、 什么是谐振子，求自然频率。
答：把振动物体看作不考虑体积的微粒，这个振动物体称作谐振子。 所谓谐振，在运动学就是简谐振动，该振动是物体在一个位置附近往 复偏离该振动中心位置（叫平衡位置）进行运动，在这个振动形式下, 物体受力的大小总是和他偏离平衡位置的距离成正比，并且受力方向
总是指向平衡位置。
自频率f与弹性系数k,微粒质量m有关。所以
f = g(m,k)
取m, k为基本量并作单位系统，所以
•,•f=cE
V m
6、把丸定理和有的书上说的相似三定理进行比较，分析说明哪个更 本质？
答：相似三定理：
相似第一定理：彼此相似的现象其同名各相似准则数值相同。
相似第二定理：现象的各物理量之间的关系，可化为相似准则的关系。 相似第三定理：如两个现象单值条件相似，而且由单值组成的各相似 准则数值相同，则两个现象相似。
相似三定理与丸定理相比，显然丸定理中各如沔，…，〃心表示由其 单位组成的无量纲量，而这些无量纲量即是相似三定理中的“同名相 似准则”，显然，对于同一个函数f, f内各无量纲量值相同后，f值 也必定唯一，即相似三定理中的“同一类现象、单值条件相似”等条 件。
相似第一定理：即丸定理中若两个现象具有相同的函数 兀=f (兀［，兀2,…，兀N—k)，则其无量纲量数值相同。
相似第二定理：即丸定理中一个物理现象，因变量a是n 个自变量 ％, "• an 的函数，即 a = f(a、, a2 ■■■,ak,ak+1，■--,aj ,取 %，『叫作为单位，将因变量a无量化为U •••，"),即无 量纲化因变量"是个无量纲化自变量句 5•，兀"的函数。
相似第三定理：即丸定理中两个现象的各无量纲量 兀1，兀2厂,兀5
数值相同，且函数f形式相同，贝Uf值也必定唯一。
相似三定律这么复杂的表述，用丸定理一句话就能得到，显然丸 定理更本质。
7、用隐函数证明丸定理。
答：把物理问题的一个因变量和N-1个自变量统一视作变量，其总数 是N。记作％, 6z2 v aN ,则可将物理规律表不为
f(%, aQ = O
不妨取前k个变量，它们是％, 6?2 / ak ,其量纲分别为& Ak o
后面N-k变量是导出量，其量纲可表示为基本量的量纲的幕次式：
[知]=冶成…玳，
= &瑚…缎，
[aN] = A^/Q
用基本量％, «2,- aj乍为单位系统，来度量其余量，由此得到的量值 都是无量纲的纯数，它们满足的关系是：
f (1,1,• • •, 1;ak+J(妒«22'''akk)，ak+i/(妒a* ..•心，…,aj(a：嫉. . •就))=。
上式后面N-k个为对F起作用的无量纲因变量，记为 w，兀N—k，因 此函数关系可写为
f ("1，兀2，’’’，兀N—k )=。
8、推导物理量量纲的幕次表达式的最后一步。
答:
% '/"J
/如,E) dr,
打 df df af . Pf
df = +~—drm + --drt= 内+
dr„, Sr, ri r,„
df af(r,,rm,rt)
街 ri
drm rm
药二酒 rt
drm+ — drt
r,
df a /3 y
. — = +一drm + — drt
f ri r„, r,
两边积分得：In/ = tz In/} + /3\nrm +/\nrt +lnC
由于f(g,
所以
而r',rn',r'的取值也具有任意性，可取今=r{,rm = rn',rt = r'
可得：f(l,l,l) = l
代入(1)式可得：C=l,所以衔 可见，与之相对应，