文档介绍：第六章能带理论
能带论是目前研究固体中的电子状态,说明固体性质最重要的理论基础。它的出现是量子力学与量子统计在固体中的应用的最直接、最重要的结果。能带论成功地解决了Sommerfeld自由电子论处理金属问题时所遗留下来的许多问题,并为其后固体物理学的发展奠定了基础。
能带论的基本出发点是认为固体中的电子不再是完全被束缚在某个原子周围,而是可以在整个固体中运动的,称之为共有化电子。但电子在运动过程中并也不像自由电子那样,完全不受任何力的作用,电子在运动过程中受到晶格原子势场的作用。
能带论的两个基本假设:
Born-Oppenheimer绝热近似:所有原子核都周期性 地静止排列在其格点位置上,因而忽略了电子与声子 的碰撞。
Hatree-Fock平均场近似:忽略电子与电子间的相互 作用,用平均场代替电子与电子间的相互作用。即假 设每个电子所处的势场完全相同,电子的势能只与该 电子的位置有关,而与其他电子的位置无关。
由于以上两个基本假设,每个电子都处在完全相同的严格周期性势场中运动,因此每个电子的运动都可以单独考虑,称为单电子近似。所以,能带论是单电子近似的理论。用这种方法求出的电子能量状态将不再是分立的能级,而是由能量的允带和禁带相间组成的能带,所以这种理论称为能带论。
§ Bloch定理
一、周期场模型
考虑一理想完整晶体,所有的原子实都周期性地静止排列在其平衡位置上,每一个电子都处在除其自身外其他电子的平均势场和原子实的周期场中运动,这样的模型称为周期场模型。
二、Bloch定理
在周期场中,描述电子运动的Schrödinger方程为
其中,U(r) = U(r+Rl)为周期性势场,Rl=l1a1+l2a2+l3a3为格矢,方程的解为:
这里,uk(r) = uk(r+Rl) 是以格矢Rl为周期的周期函数。这个结果称为Bloch定理。
—— Bloch函数
证明:由于势场的周期性反映了晶格的平移对称性,可定义一个平移算符T,使得对于任意函数f(r)有
这里,a,=1, 2, 3是晶格的三个基矢。
而
因为f(r)是任意函数,所以,TT- T T=0,即T和T可对易。
又
因为f(r)是任意函数,所以,T与H也可对易, 即:T H-H T=0
根据量子力学可知, T和H有共同本征态。设(r)为其共同本征态,有
{
=1, 2, 3
其中是平移算符T 的本征值。为了确定平移算符的本征值,引入周期性边界条件。
设晶体为一平行六面体,其棱边沿三个基矢方向,N1,N2和N3分别是沿a1,a2和a3方向的原胞数,,即晶体的总原胞数为N=N1N2N3 。
(设为非简并)
周期性边界条件:
而
得
h=整数, =1, 2, 3
所以
引入矢量
这里b1,b2和b3为倒格子基矢,于是有
定义一个新函数:
这表明uk(r)是以格矢Rl为周期的周期函数。
证毕
二、几点讨论
1. 关于布里渊区
波矢量k是对应于平移算符本征值的量子数,其物理意义表示不同原胞间电子波函数的位相变化。
如
1反映的是沿a1方向,相邻两个原胞中周期对应的两点之间电子波函数的位相变化。不同的波矢量k表示原胞
间的位相差不同,即描述晶体中电子不同的运动状态。但是,如果两个波矢量k和k’相差一个倒格矢Gn,可以证明,这两个波矢所对应的平移算符本征值相同。
对于k:
对于k’= k+Gn:
=1, 2, 3
这表明,这两个波矢量k和k’= k+Gn所描述的电子在晶体中的运动状态相同。因此,为了使k和平移算符的本征值一一对应, k必须限制在一定范围内,使之既能概括所有不同的的取值,同时又没有两个波矢k相差一个倒格矢Gn。与讨论晶格振动的情况相似,通常将k取在由各个倒格矢的垂直平分面所围成的包含原点在内的最小封闭体积,即简约区或第一布里渊区中。