文档介绍：§ 晶体能带的对称性
一、 En(k)函数的对称性
引入描述点群对称操作的算符T(),其物理意义是对于任意函数f(r),有
其中,-1是的逆操作,其定义是-1 r点经操作后变换到r点。
晶体中电子运动的哈密顿量(单电子)为:
将T()和H同时作用在任意函数f(r)上,
由于2在正交变换下形式不变,而坐标旋转、反演、反映等都是正交变换,所以,
而电子的势能函数U(r)应具有与晶格相同的对称性,即
由于f(r)是任意函数,所以T()与H可对易
由此可以可得一个推论:若n,k(r)是晶体波动方程的解,那么,T() n,k(r)也是方程的解,且n,k(r)与T() n,k(r)有相同的能量本征值。
在晶体中电子运动的本征态波函数为Bloch函数
这里n为能带标记,k为简约波矢,对应的能量本征值为En(k)。将T()作用在n,k(r)上得,
由于是正交变换,因此,有
另外,由于也是以Rl为周期的周期函数,
因此,可以改写为
这表明,用T()作用在Bloch函数的结果只是将简约波矢k变换到另一个简约波矢k。根据上面的推论,它们应具有相同的能量本征值。所以,有
这表明,在k空间中En(k)具有对称性,将取遍晶体点群的所有对称操作,上式都成立。于是,我们就证明了,在k空间中En(k)具有与晶体点群完全相同的对称性。
另外,由于在晶体中电子运动的哈密顿算符
是实算符,H*=H,所以,如果n,k(r)是方程的解,那么*n,k(r)也是方程的解,且这两个解具有相同的能量本征值。即
在晶体中,
另一方面,用-k取代k,得
需要指出的是,这个结论不依赖于晶体的点群对称性,不管晶体中是否有对称中心,在k空间中En(k)总是有反演对称的。这实际上是时间反演对称性的结果。
从以上讨论可以看出,对于同一能带,有
来自于晶格的周期性
来自于晶体的点群对称性
来自于时间反演对称性
P
P’’
P’
kx
ky
以二维正方晶格为例,二维正方晶格的点群是C4V(4mm),所以,对于一般位置P,在简约区中共有8个点与P点对称
相关。在这些点,电子都有相同的能量En(k)。因此,我们只需研究清楚简约区中 1/8 空间中电子的能量状态,就可以知道整个k空间中的能量状态了。我们将这部分体积称为简约区的不可约体积。依此类推,对于立方晶系的Oh(m3m)点群,只需研究(1/48)b即可。
X
Z
M
kx
ky
-/a
/a
-/a
对于一般位置k,简约区中对称相关的波矢量数就等于点群的阶数。但若k在简约区中的某些特殊位置(对称点、对称轴或对称面)上,即在晶体点群中,存在某些对称操作,使得
k=k 或k=k+Gl
这时,简约区中等价波矢量数就少于点群的阶数。在二维正方晶格的简约区中,k有以下特殊位置:
M
X
R
Z
S
T
简单立方晶格的简约区中k的特殊位置: