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线性代数学习指导(四).doc

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线性代数学习指导(四).doc

文档介绍

文档介绍:线性方程组
基本内容
齐次线性方程组有非零解的充要条件及非齐次线性方程 组有解的充要条件
线性方程组的基础解系、通解及解的结构
非齐次线性方程组有解的条件及其判定,方程组的解法
用初等行变换求线性方程组的通解
基本要求与重、难点
基本要求:熟练掌握线性方程组的求解方法。
重点:线性方程组的叠加原理与解的结构。
难点:齐次线性方程组的基础解系。
典型例题解析
X] + *2 + 2*3 + 工4 = 0
例1 解线性方程组,xx + 2x2 + x3 - x4 = 0・
2*i + x2 + 5*3 + 4x4 = 0
分析 这是其次线性方程组,未知量个数与方程个数不同,利用初等 行变换化系数矩阵为行最简形,即可得通解.

n
i
2
n
i
2
1 )
A =
i
2
1
-1

0
i
-1
-2
1
5
1)
-i
1
2 ,
(1
1
2
1、
n
0
3
3、
0
1
-1
-2

0
1
-1
-2
.0
0
0
0
J)
0
0
0 ,
即得 勺=一3二-3七 心,心为自由未知量• x. = X, +2xd
故方程组的通解为
.一3、
=七:+知:,k[氏为任意实数.
xx + x2 + 2x3 + *4=3
例2 解线性方程组< xx +2x2 + x3 -x4 = 2・
2xx + x2 + 5x3 + 4x4 = 7
分析这是非齐次线性方程组,有解的充要条件是
R(A) = R(B),因方程个数小于未知量个数,若有解,一定有无 穷多解,先求出对应的齐次方程组的基础解系,再求出原来的 非齐次方程组的一个特解,即可得通解.

‘11 2 13、
B= 1 2 1 -1 2
、2 1 5 4 7 ,
‘11 2 13、
-0 0 -1 -2 -1
T 12 1,
‘11 2 1 3、
~ 0 1 -1 -2 -1
、0 0 0 0 0?
R(A) = R(B) = 2, 程组就是例1中方程组,其基础解系为
下面再来求非齐次方程组的一个特解,由上面最后一个矩阵
的同解方程组
Xj + x2 = -x3 - 4x4 + 3
x2 = x3 + 2x4 -1
取x3 = x4 = 0代入上式得*1 =4,*2 =
'4、
-1
0
于是所求方程组的通解为
也*2为任意实数.
,即可直接写出通解.
例3问人为何值时方程组
2*i +2x2 - x3 = 1
Axr - x2 + x3 = 2
4xx +5*2 -5x3 = -1
无解,有唯一解或无穷多解?当有无穷多个解时,写出方程组的通 解.
分析 这是带有参数的方程组,根据方程组有解的充要条件是
R(A) = R(B),用初等变换求解.

<2
-1
1)
(2
-1
]、
(2

-1
1>
B =
2
-1
1
2 ~
2 + 2
2-1
0
3

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