文档介绍：线性方程组
基本内容
齐次线性方程组有非零解的充要条件及非齐次线性方程组有解的充要条件
线性方程组的基础解系、通解及解的结构
非齐次线性方程组有解的条件及其判定，方程组的解法
用初等行变换求线性方程组的通解
基本要求与重、难点
基本要求：熟练掌握线性方程组的求解方法。
重点：线性方程组的叠加原理与解的结构。
难点：齐次线性方程组的基础解系。
典型例题解析
X] + *2 + 2*3 + 工4 = 0
例1 解线性方程组，xx + 2x2 + x3 - x4 = 0・
2*i + x2 + 5*3 + 4x4 = 0
分析这是其次线性方程组，未知量个数与方程个数不同，利用初等行变换化系数矩阵为行最简形，即可得通解.
解
n
i
2
n
i
2
1 )
A =
i
2
1
-1
〜
0
i
-1
-2
1
5
1)
-i
1
2 ，
(1
1
2
1、
n
0
3
3、
0
1
-1
-2
〜
0
1
-1
-2
.0
0
0
0
J)
0
0
0 ,
即得勺=一3二-3七心,心为自由未知量• x. = X, +2xd
故方程组的通解为
.一3、
=七：+知：，k［氏为任意实数.
xx + x2 + 2x3 + *4=3
例2 解线性方程组＜ xx +2x2 + x3 -x4 = 2・
2xx + x2 + 5x3 + 4x4 = 7
分析这是非齐次线性方程组，有解的充要条件是
R(A) = R(B),因方程个数小于未知量个数，若有解，一定有无穷多解，先求出对应的齐次方程组的基础解系，再求出原来的非齐次方程组的一个特解，即可得通解.
解
‘11 2 13、
B= 1 2 1 -1 2
、2 1 5 4 7 ,
‘11 2 13、
-0 0 -1 -2 -1
T 12 1,
‘11 2 1 3、
~ 0 1 -1 -2 -1
、0 0 0 0 0?
R(A) = R(B) = 2, 程组就是例1中方程组，其基础解系为
下面再来求非齐次方程组的一个特解，由上面最后一个矩阵
的同解方程组
Xj + x2 = -x3 - 4x4 + 3
x2 = x3 + 2x4 -1
取x3 = x4 = 0代入上式得*1 =4,*2 =
'4、
-1
0
于是所求方程组的通解为
也*2为任意实数.
,即可直接写出通解.
例3问人为何值时方程组
2*i +2x2 - x3 = 1
Axr - x2 + x3 = 2
4xx +5*2 -5x3 = -1
无解，有唯一解或无穷多解？当有无穷多个解时，写出方程组的通解.
分析这是带有参数的方程组，根据方程组有解的充要条件是
R(A) = R(B)，用初等变换求解.
解
<2
-1
1)
(2
-1
］、
(2
人
-1
1>
B =
2
-1
1
2 ~
2 + 2
2-1
0
3