文档介绍：典型例题一
例1 甲、乙两个人独立地破译一个密码,他们能译出密码的概率分别为和,求:
(1)两个人都译出密码的概率;
(2)两个人都译不出密码的概率;
(3)恰有1个人译出密码的概率;
(4)至多1个人译出密码的概率;
(5)至少1个人译出密码的概率.
分析:我们把“甲独立地译出密码”记为事件,把“乙独立地译出密码”记为事件,显然为相互独立事件,问题(1)两个都译出密码相当于事件、同时发生,(2)(3)恰有1个人译出密码可以分成两类:发生不发生,不发生发生,(4)至多1个人译出密码的对立事件是两个人都未译出密码,、是独立事件,上述问题中,与,与,与是相互独立事件,可以用公式计算相关概率.
解:记“甲独立地译出密码”为事件,“乙独立地译出密码”为事件,、为相互独立事件,且.
(1)两个人都译出密码的概率为:
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(2)两个人都译不出密码的概率为:
(3)恰有1个人译出密码可以分为两类:甲译出乙未译出以及甲未译出乙译出,且两个事件为互斥事件,所以恰有1个人译出密码的概率为:
(4)“至多1个人译出密码”的对立事件为“有两个人译出密码”,所以至多1个人译出密码的概率为:
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(5)“至少有1个人译出密码”的对立事件为“两人未译出密码”,所以至少有1个人译出密码的概率为:
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说明:如果需要提高能译出密码的可能性,就需要增加可能译出密码的人,现在可以提出这样的问题:若要达到译出密码的概率为99%,至少需要像乙这样的人多少个?我们可以假设有个像乙这样的人分别独立地破译密码,此问题相当于次独立重复试验,要译出密码相当于至少有1个译出密码,其对立事件为所有人都未译出密码,能译出密码的概率为,按要求,,故,可以计算出,即至少有像乙这样的人16名,才能使译出密码的概率达到99%.
典型例题二
例2 如图,开关电路中,某段时间内,开关开或关的概率均为,且是相互独立的,求这段时间内灯亮的概率.
分析:我们把“开关合上”记为事件,“开关合上”记为事件,“开关合上”记为事件C,是相互独立事件且由已知,它们的概率都是,由物理学知识,要求灯亮,有两种可能性,一个是、两开关合上,即事件发生,另一个是开关合上,即事件发生,也就是灯亮相当于事件发生.
解:分别记“开关合上”、“开关合上”、“开关合上”为事件,由已知,是相互独立事件且概率都是.
开关、合上或开关合上时灯亮,所以这段时间内灯亮的概率为:
说明:本题的解题过程中,灵活使用了概率中的一些符号,比如,表示事件与事件同时发生,表示事件与事件至少有一个发生,表示与至少有一个发生,所以分成了三个互斥事件:发生不发生,不发生发生,与都发生,而其中不发生发生即,又不发生即与至少有一个不发生,从而又分成了三个互斥事件:、、,符号语言的正确理解与使用,不仅是提高数学能力的需要,而且也使数学解题过程简便明了,:
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典型例题三
例3 掷三颗骰子,试求:
(1)没有一颗骰子出现1点或6点的概率;
(2)恰好有一颗骰子出现1点或6点的概率.
分析:我们把三颗骰子出现1点或6点分别记为事件,由已知,(1)没有1颗骰子出现1点或6点相当于,问题(2)恰有一颗骰子出现1点或6点可分为三类:,(1)可以用相互独立事件的概率公式求解,问题(2)可以用互斥事件的概率公式求解.
解:记“第1颗骰子出现1点或6点”为事件,由已知是相互独立事件,且.
(1)没有1颗骰子出现1点或6点,也就是事件全不发生,即事件,所以所求概率为:
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(2)恰好有1颗骰子出现1点或6点,即发生不发生不发生或不发生发生不发生或不发生不发生发生,用符号表示为事件,所求概率为:
说明:再加上问题:至少有1颗骰子出现1点或6点的概率是多少?我们逆向思考,其对立事件为“没有一颗骰子出现1点或6点,即问题(1)中的事件,所求概率为,在日常生活中,经常遇到几个独立事件,要求出至少有一个发生的概率,比如例1中的至少有1个人译出密码的概率,再比如:有两门高射炮,,求同时发射一发炮弹,击中飞机的概率是多少?把两门炮弹击中飞机分别记为事件A与B,击中飞机即 A与B至少有1个发生,所求概率为.
典型例题四
例4 某工厂的产品要同时经过两名检验员检验合格方能出厂,但在检验时也可能出现差错,将合格产品不能通过检验或将不合格产品通过检验,对于两名检验员,合格品不能通过检验的概率分别为
,不合格产品通过检验的概率分别为,:(1)一件合格品不能出厂的概率,(2)一件不合格产品