第三节协方差与相关系数.ppt

文档介绍：第三节协方差与相关系数
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注：
一. 协方差
.
量
称为随机变量
X 与 Y 的协方差，记为：
即：
协方差中当 X = Y 时即为方差的定义，即：
故方差是协方差的特例。
2. 协方差的简单性质
是常数
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显然，若 X 与 Y 相互独立则： Cov(X, Y)= 0
3. 计算协方差的一个简单公式
由协方差的定义及期望的性质，可得：
证明：
注：
4. 随机变量和的方差与协方差的关系
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若 X1, X2, …, Xn 两两独立，上式化为：
协方差的大小在一定程度上反映了X 和 Y 相互间的关系，但它还受 X与Y 本身度量单位的影响.
为了克服这一缺点，对协方差进行标准化，这就引入了相关系数的概念。 .
问题：
例如：
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称为随机变量
二. 相关系数
.
量(无量纲)
X, Y 的相关系数，记为：
即：
2. 相关系数的简单性质
存在常数
使得：
X 和 Y 以概率 1 线性相关
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由方差的性质和协方差的定义知，对任意实数
令
，则上式为：
证明：
有：
由于方差D(Y)是正的，故必有：
所以证得：
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由方差与协方差协关系有：
因此有：
证明：
存在常数
使得：
与
是标准化随机变量，
故其均值为 0，方差为 1
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由方差的性质，可知:
整理得 ：
当
时有:
为常数
其中：
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同理，当 时也可推出此结论。因此得证。
又
所以：
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于是得：
所以：
即：
注：
X 和 Y 独立时， 但其逆不真.
由于当 X 和Y 独立时，Cov(X, Y)= 0，故
但
并不一定能推出X 和 Y 独立。
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