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等时圆模型
图3
A
何谓“等时圆”
图1
x
y
mg
θ
例：如图1所示，ad、bd、cd是竖直面内三根固定的光滑细杆，a、b、c、d位于同一圆周上，a点为圆周的最高点，d点为最低点。每根杆上都套有一个小滑环（图中未画出），三个滑环分别从a、b、c处释放（初速为0），用t1、t2、t3依次表示各滑环到达d所用的时间，则（）
<t2<t3 >t2>t3 >t1>t2 =t2=t3
解析：选任一杆上的环为研究对象，受力分析并建立坐标如图所示，设圆半径为R，由牛顿第二定律得，
①
再由几何关系，细杆长度 ②
设下滑时间为，则 ③
由以上三式得，可见下滑时间与细杆倾角无关，所以D正确。由此题我们可以得出一个结论。
结论：物体沿着位于同一竖直圆上的所有光滑弦由静止下滑，到达圆周最低点的时间相等。
图2
推论：若将图1倒置成图2的形式，同样可以证明物体从最高点由静止开始沿不同的光滑细杆到圆周上各点所用的时间相等。
像这样的竖直圆我们简称为“等时圆”。关于它在解题中的应用，我们看下面的例子：
二、“等时圆”的应用
可直接观察出的“等时圆”
例1：如图3，通过空间任一点A可作无限多个斜面，若将若干个小物体从点A分别沿这些倾角各不相同的光滑斜面同时滑下，那么在同一时刻这些小物体所在位置所构成的面是（）

答案：A
A
B
C
D
M
图4
例2：如图4，位于竖直平面内的固定光滑圆轨道与水平面相切于M点，与竖直墙相切于点A，竖直墙上另一点B与M的连线和水平面的夹角为600，C是圆环轨道的圆心，D是圆环上与M靠得很近的一点（DM远小于CM）。已知在同一时刻：a、b两球分别由A、B两点从静止开始沿光滑倾斜直轨道运动到M点；c球由C点自由下落到M点；d球从D点静止出发沿圆环运动到M点。则：（）
A、a球最先到达M点
B、b球最先到达M点
C、c球最先到达M点
D、d球最先到达M点
a、b、c三个小球均匀加速直线运动，d球的运动可等效成单摆运动，因DM远小于CM，其运动等效为简谐运动．
由牛顿第二定律和运动学公式得到a、b、c三个球运动时间与圆的半径的关系，根据单摆的周期公式得到d球运动时间与圆的半径的关系，即可比较时间长短．
答案：C
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2、运用等效、类比自建“等时圆”
A
B
P
H
h
O
图5
例3：如图5所示，在同一竖直线上有A、B两点，相距为h，B点离地高度为H，现在要在地面上寻找一点P，使得从A、B两点分别向点P安放的光滑木板，满足物体从静止开始分别由A和B沿木板下滑到P点的时间相等，求O、P两点之间的距离。
解析:
由“等时圆”特征可知，当A、B处于等时圆周上，且P点处于等时圆的最低点时，即能满足题设要求