文档介绍：第一行列式
（一）行列式的定义、性质
1. a,",%,%,%均为4维列向量，已知A| = \a
%2
匕|=5,
bR0齐
%2
勾=-1,则 |a+b| =（ c
）
A. 4
B.
6
C. 32 D. 48
. a,",%,”,％均为4维列向量，已知|A| = \a
Yi
幻"，
BH0 Y1
%2
卅=-1,则 |a+b| =
24
3 0
4
C

2 2
2
,则第四行各元素的代数余子式之和为 0 .
0 -7
0
C
4 2
5
1 2
3 4
2 3
4 1
2. 1 A =
3 4
1 2
，则人12 + 2血 + 3九2 + 4A42 =
0 （ Ay是tZy的代数余子
4 1
2 3
式）.
-1 1
1
2
1 1
0
3
=
-1 1
2
0
,Mg为行列式同中元素a
的余子式，
-1 2
5
4
求:
^41
+ M42
-M
43
+ 2M44. （4 分）
-1112
.,1 1 0 3
= , 4/为行列式中元素宓的代数余子式,
1 1 -1 1 2 0 1 1
-12 5 4
-1112
亠 110 3
求：A41 + A42 + A43 + 2A^ = ] 2 0，・
12 5 4
或者九 + A42 + A43 + 2A44 =-A41 + A42 + A43 + 2A44 +2A41=2A41 ,2,2, -1,第四行元素的余子式依次为：8,
k, -6, 10,则" 3.
3多项式f(x) =
2x3
3 4 2x
1x5
5x 2 x
x
3
］中■/的系数为
4
10
(二)与矩阵及特征值相关的行列式问题
设4为3阶方阵且|A| = 1 ,若4按列分块为4 = ©,也，禺)，令
B = («! +a2 +a3,(xl +2a2 +4«3,«, +3a2 +9«3),贝ij|B| = ( B )
-2 (B) 2 (C) 6 (D) -6
"阶行列式|A| = 0，则下列表述正确的是(B )。
行列式|4|主对角线上的元素全为零；
A的行向量组线性相关；
方程AX=0仅有零解；
A*的秩为〃
已知A,B是〃阶方阵，则下列结论中正确的是(C )
AB hOoAhO 且 BhO (B)制= 0oA = 0
(C) |ab| = 0 o 制=0 或 |b| = 0 (D) A = / o |A| = 1
设为3阶矩阵，＞|A| = 2,|B| = 3,贝中4矿卜。
|A| = |,崔是4阶方阵4的伴随矩阵，则|(3A)T—24=32/81
, B均为3阶方阵，且|A| = -1, |5| = 3,贝中才矿卜 8/3 。
3. 3 设4为 3 阶矩阵，且|A| = 2 ,贝ij |(2A)-* - A*|= -27/16
3. 4 设 4 为 3 阶方阵，国=*,则 |(2A)-! - (2A)*|= _-27/4
如果3阶方阵4的特征值分别为2, 4, 6,则|5/-A|= -3
已知3阶非零实方阵4满足A* = A7 ,则|A| = 1
(三)有特点的行列式
1
1
1 •
• - 1
a
Q — 1
a —2 •
•- a — n
a2
(°-1)2
(a-2)2 •
•- (a-n)
an
(Q —1)”
(a —2)" •
•- (a-n)
2
1.
n
计算行列式D”+i,其中
(-l)FEp!
i=l
1. 1 (6 分)
2+i
an
an~x
(。-1)"
S —1严
(a-n)n
{a-ri)n~x
n
rp!
Z=1
“阶行列式£>
的值。
计算4阶行列式
4求“阶行列式D
5. (12分)对于厂2a
a1
a2
0
n元线性方程组
1
la
a1
2a
a1
la
a1
2ay
的值,
其中 0, z = 1,2, • • •, n o
(、
x2
=
0
b丿
O
1
⑴.证明：n阶系数矩阵的行列式|4j = (“ + l)a".