文档介绍：第二章解析函数§ 解析函数的概念; ),(Dzzfw??函数 1 复变函数的导数定义: Dzzz??? 00,?????z w z0 lim 极限 z zfzzf z??????)()( lim 0 00存在, 则就说 f (z)在z 0可导, 此极限值就称为 f (z)在z 0 的导数,记作 0 0 ( ) . z z dw f z dz ??或应该注意:上述定义中的方式是任意的。 0z ? ?容易证明: 可导可微; ?可导连续。?如果 f (z)在区域 D内处处可导, 就说 f (z)在D内可导. 例1求 f (z ) = z 2的导数。[解] 因为Δ 0 ( Δ) ( ) limΔ z f z z f z z ?? ? 2 2 Δ 0 ( Δ) limΔ z z z z z ?? ??Δ 0 lim(2 Δ) 2 . z z z z ?? ??所以 f '(z) = 2z .复变函数的导数具有与实函数同样的求导法则。(即 f (z ) = z 2在复平面处处可导。) 例2 问 f (z ) = x +2 yi 是否可导? [解]这里 0 ( ) ( ) lim z f z z f z z ?????? 0 ( ) 2( ) 2 lim z x x y y i x yi x yi ??????????? ?? 02 lim z x yi x yi ??? ???? ?? 0, z x ? ???取 0 0 2 lim lim 1. z x x yi x x yi x ?? ??? ?? ?? ?? ?? ? 0, z i y ? ???取 0 0 2 2 lim lim 2. z y x yi y x yi y ?? ??? ?? ?? ?? ?? ?所以 f (z ) = x + 2 yi 的导数不存在. (即 f (z ) = x + 2 yi 在整个复平面处处不可导.) 2 2 zzzyix ????例3 讨论 2)(zzfw??的可导性。????????z zfzzfz w)()(解: z zzz???? 22z zzzzzz???????) )((z zzzz??????:0?z )0(0???????zzz w0)0(???f :0?z 0????xz取 zzz w????? 0????yiz取 zzz w?????所以 2)(zzfw??在复平面上除原点外处处不可导。问题:对函数 f (z ) = u(x,y ) + iv(x,y), 如何判别其可导性? 先来了解什麽是函数的解析性。 2. 解析函数的概念函数在一点解析?在该点可导。反之不一定成立。在区域内: ? f (z ) = z 2在整个复平面上解析; 2)(zzfw??仅在原点可导,故在整个复平面上不解析; f (z ) = x +2 yi 在整个复平面上不解析。定义解析: 在 0)(zzf 0 ( ) f z z 。内解析: 在区域 D zf)( ( ) f z D 在内处处解析. Z 0称为解析点, 例4 讨论函数 f (z )=1/ z : ?? 21 0 , dwz dz z ?? ?故 f (z )=1/ z 除z = 0 外处处解析; z = 0 是它的一个奇点。解析函数的性质: (1) 两个解析函数的和、差、积、商仍为解析函数; (2) 两个解析函数的复合函数仍为解析函数; (3) 一个解析函数不可能仅在一个点或一条曲线上解析; 所有解析点的集合必为开集。讨论函数 f (z ) = u(x,y ) + iv(x,y)的解析(可导)性。??( ) , f z u v 的解析可导与的偏导数之间有什么关系? ???设函数( ) ( , ) ( , ) w f z u x y iv x y ? ??在 D内解析, ( ) . f z a ib ?? ?即存在于是???? w f z z f z ? ? ?????( 0, 0) a ib z z z ? ?? ???????当 1 2 (