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高等代数(北大版)第6章****题参考答案
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高等代数(北大版)第6章****题参考答案
第六章线性空间
.设
MN ,
证明：
MI N M,MUN N
。
1
证任取
M,由M
N , 得
N,所以
M N,即证 M
NI M 。又因
M
N
M,故M I N
M 。再证第二式，任取
M 或
N,但 M
N ,因此无论
哪一种情形，都有
N,此即。但 N
M
N,所以 M UN
N 。
M (N L)
(M N) (M L)，M (N L) (M N) (M L)。
证
x
M
( N
L), 则 x M 且 x
N
L. 在后一情形，于是 x
M
N或 x M
L.
所以 x
(M
N )
(M
L) ，由此得 M
( N
L) (M
N )
(M
L) 。反之，若
x
(M
N )
( M
L) ，则 x
M
N或 x
M
L. 在前一情形， x
M , x N , 因此
x N L. 故得 x
M ( N L), 在后一情形，因而 x M , x L, x
NUL，得
x M ( N L), 故 ( M N ) ( M L) M (N L),
于是 M (N L) (M N) (M L)。
若 x
MU（NI
L），则 x M ， x
N I
L 。
在前一情形 X
x
M U N
，且 X
M
U L，因而 x （ M U N）
。
I（MUL）
在后一情形， x
N
,x
因而
x M U N,
且
，即X （M
N）（M
L）所以
L,
X MUL
U IU
M U N）I（MUL） M U（NU L）
故

M U（N I L）=（M U N）I（MUL）
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即证。
3、检验以下集合对于所指的线性运算是否构成实数域上的线性空间：
1）次数等于 n（ n 1）的实系数多项式的全体，对于多项式的加法和数量乘法；
2）设 A 是一个 n × n 实数矩阵， A 的实系数多项式 f （A）的全体，对于矩阵的加法和数量
乘法；
3）全体实对称（反对称，上三角）矩阵，对于矩阵的加法和数量乘法；
4）平面上不平行于某一向量所成的集合，对于向量的加法和数量乘法；
5）全体实数的二元数列，对于下面定义的运算：
（ a1 ，b1）（ a b （ a1 a2，b1 b2 a1 a2）
（kk 1） 2
k。（ a ， b1） =（ ka1， kb1 + a1
1 2
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6）平面上全体向量，对于通常的加法和如下定义的数量乘法：
k oa 0 ；
7）集合与加法同 6），数量乘法定义为：
k oa a ；
8）全体正实数 r ，加法与数量乘法定义为：
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a b

ab ，

k oa

ak ；
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解 1 ）否。因两个

n 次多项式相加不一定是

n 次多项式，例如
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