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第六章线性空间
１．设证明：。
证任取由得所以即证。又因故。再证第二式，任取或但因此无论哪一种情形,都有此即。但所以。
２．证明,。
证则在后一情形,于是所以,由此得。反之，若,则在前一情形,因此故得在后一情形,因而，得故
于是。
若。
在前一情形X, 。
　　3、检验以下集合对于所指的线性运算是否构成实数域上的线性空间:
次数等于n(ｎ1)的实系数多项式的全体,对于多项式的加法和数量乘法；
设A是一个n×n实数矩阵,A的实系数多项式ｆ(Ａ)的全体,对于矩阵的加法和数量乘法;
全体实对称（反对称,上三角）矩阵，对于矩阵的加法和数量乘法；
平面上不平行于某一向量所成的集合，对于向量的加法和数量乘法；
全体实数的二元数列,对于下面定义的运算：
　　ﻩ
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平面上全体向量，对于通常的加法和如下定义的数量乘法:
　　　　 ;
集合与加法同６）,数量乘法定义为：
;
全体正实数r,加法与数量乘法定义为:
,;
解　１)否。因两个ｎ次多项式相加不一定是ｎ次多项式,例如
　　　　。
2)令V＝｛f(A)|f(ｘ)为实数多项式,A是ｎ×n实矩阵}
因为
　　　 f(x）+g(x）＝h(x）,kｆ（ｘ）=d（ｘ)
所以
　 f(A）+g(A)=h(A)，kf(A）＝d(A）
由于矩阵对加法和数量乘法满足线性空间定义的1~８条,故ｖ构成线性空间。
　 3)矩阵的加法和和数量乘法满足线性空间定义的1～8条性质,只需证明对称矩阵（上三角矩阵,反对称矩阵)对加法与数量乘法是否封闭即可。下面仅对反对称矩阵证明:
　　当A，B为反对称矩阵，k为任意一实数时，有
　,Ａ+B仍是反对称矩阵。
　 ,所以kＡ是反对称矩阵。
故反对称矩阵的全体构成线性空间。
4)否。例如以已知向量为对角线的任意两个向量的和不属于这个集合。
5）不难验证,对于加法,交换律,结合律满足,(0，0）是零元,任意(ａ，ｂ）的负元是（-a，-b）。对于数乘:
ﻩﻩ
即。
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=,
＝
＝
=
=,
即,所以,所给集合构成线性空间。
6）否,因为。
7）否，因为，
所给集合不满足线性空间的定义。
8）显然所给集合对定义的加法和数量乘法都是封闭的,满足
所以,所给集合构成线性空间。
４在线性空间中，证明：1）２）。
证１)。
2)因为。
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５　证明：在实函数空间中,1,式线性相关的。
证因为，所以1,式线性相关的。
6　如果是线性空间中三个互素的多项式，但其中任意两个都不互素,那么他们线性无关。
证　若有不全为零的数使，
不妨设则，这说明的公因式也是的因式，即有非常数的公因式，这与三者互素矛盾，所以线性无关。
7 在中，求向量在基下的坐标。设
1）；
２）。
解　1)设有线性关系,则，
可得在基下的坐标为。
2）设有线性关系,则,
可得在基下的坐标为。
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8求下列线性空间的维数于一组基:１)数域P上的空间P;２)P中全体对称(反对称,上三角)矩阵作成的数域Ｐ上的空间;3)第3题８）中的空间;４)实数域上由矩阵A的全体实系数多项式组成的空间,其中A＝。
解 1)的基是且。
２) ｉ)令,即其余元素均为零，则　是对称矩阵所成线性空间的一组基,所以是维的。
ｉi)令,即其余元素均为零,则是反对称矩阵所成线性空间的一组基, 所以它是维的。
ｉｉi) 是上三角阵所成线性空间的一组基，所以它是维的。
3）任一不等于1的正实数都是线性无关的向量,例如取2,且对于任一正实数,可经2线性表出,即.，所以此线性空间是一维的，且2是它的一组基。
4）因为,,所以,
于是，　而。
，求由基，到基的过渡矩阵,并求向量在所指基下的坐标。设
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　 ,，
在下的坐标;
　,，
在下的坐标；
　，,
在下的坐标；
解 (）=（)=()A
这里Ａ即为所求由基到的过渡矩阵,将上式两边右乘得，
得　（)=（），
于是
　　　()=（）,
所以在基下的坐标为
　　　　　，
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这里=。
令则
()＝（)=()Ａ，
（)＝（）＝()B,
将()=()代入上式，得
()＝()B,
这里
=,Ｂ=,
且即为所求由基到基的过渡矩阵,进而有
＝（）＝(）
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=（),
所以在下的坐标为。
同,同理可得
Ａ=B=
＝
则所求由到的过渡矩阵为
Ｂ=