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高等代数（北大版）第6章****题参考答案
第六章 线性空间
?N,证明：MN?M,MN?N。
证 任取??M,由M?N,得??N,所以??M?N,即证M?NM。又因
M?N?M,故Ma,k[lb?a2]?(la)2)222l(l?1)2k(k?1)kl(kl?1)2k(k?1)?(kla,k[lb?a]?(la)2)?(kla,a?(la)2)2222kl(kl?1)2?(kla,a?klb)?(kl).(a,b),2
(k?l)(k?l?1)2(k?l).(a,b)?[(k?l)a,a?(k?l)b]2k(k?1)2l(l?1)2k.(a,b)?l.(a,b)?(ka,kb?a)?(la,lb?a22k(k?1)2k(k?1)2?(ka?la,kb?a?a?kla2)22(k?1)(k?l?1)2?[(k?l)a,a?(k?l)b].21。〔a，b〕〔。?1a，1。b?即(k?l)?(a,b)?k?(a,b)?l?(a,b)。
k?[(a1,b1)?(a2,b2)]?k?(a1?a2,b1?b2?a1a2)
＝[k(a1?a2),k(b1?b2?a1a2?k(k?1)(a1?a2)2)]， 2k?(a1,b1)?k?(a2,b2)
k(k?1)2k(k?1)2a1)?(ka2,kb2?a2) 22k(k?1)2k(k?1)2＝(ka1?ka2,kb1?a1?kb2?a2?k2a1a2)
22k(k?1)2k(k?1)2＝(k(a1?a2),k(b1?b2?a1a2)?a1??a2?k2a1a2?ka1a2)
22k(k?1)222＝(k(a1?a2),k(b1?b2?a1a2)?(a1?a2))，
2＝(ka1,kb1?即k?(a1,b1)?(a2,b2)?k?(a1,b1)?k?(a2,b2)，所以，所给集合构成线性空间。 6〕否，因为1???0??.。
7〕否，因为(k?l)????,k???l???????2?,所以(k?l)???(k??)?(l??)， 所给集合不满意线性空间的定义。
8〕明显所给集合对定义的加法和数量乘法都是封闭的，满意
i)a?b?ab?ba?b?a;ii)(a?b)?c?(ab)?c?abc?a?(bc)?a?(b?c);iii)1是零元：a?1?a?1?a;1111iv)a的负元是:a??a??1,且?a?1;aaaav)1?a?a1?a;vi)(k(la))?k(al)?(al)k?alk?akl?(kl)a;vii)(k?l)a?ak?l?ak?al?(ka)?(la);viii)k(a?b)?k(ab)?(ab)k?akbk?(ka)?(kb).
所以，所给集合R构成线性空间。
?4 在线性空间中，证明：1〕k0?0 2〕k(???)?k??k?。
证 1〕k0?k(??(??))?k??k(??)?k??k(?1)??(k?(?k))??0??0。
2〕因为k(???)?k??k(?????)?k?,所以k(???)?k??k?。
5 证明：在实函数空间中，1，cos2t,cos2t式线性相关的。
2证 因为cos2t?2cost?1，所以1，cost,cos2t式线性相关的。
26 假如f1(x),f2(x),f3(x)是线性空间P[x]中三个互素的多项式，但其中随意两个都不互
素，那么他们线性无关。
证 假设有不全为零的数k1,k2,k3使k1f1(x)?k2f2(x)?k3f3(x)?0，
不妨设k1?0,那么f1(x)??kk2f2(x)?3f3(x)，这说明f2(x),f3(x)的公因式也是f1(x)k1k1的因式，即f1(x),f2(x),f3(x)有特别数的公因式，这与三者互素冲突，所以
f1(x),f2(x),f3(x)线性无关。
7 在P4中，求向量?在基?1,?2,?3,?4下的坐标。设
1〕?1?(1,1,1,1),?2?(1,1,?1,?1),?3?