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1~8 条，故 v 构成线性空间。
3）矩阵的加法和和数量乘法满足线性空间定义的1~8 条性质，只需证明对称矩阵（上三
角矩阵，反对称矩阵）对加法与数量乘法是否封闭即可。下面仅对反对称矩阵证明：
当 A，B 为反对称矩阵，k 为任意一实数时，有
（A+B） =A+B=-A-B=-（A+B），A+B 仍是反对称矩阵。
（KA）  KA  K（ A） （KA），所以 kA 是反对称矩阵。
故反对称矩阵的全体构成线性空间。
4）否。例如以已知向量为对角线的任意两个向量的和不属于这个集合。
5）不难验证，对于加法，交换律，结合律满足，（0，0）是零元，任意（a，b）的负元是
（-a， a 2-b）。对于数乘：
1(11)
1。（a，b）（。 1 a，1。b  a2 )  (a,b),
2
l(l 1) l(l 1) k(k 1)
k.(l.(a,b)  k.(la,lb  a2 )  (kla,k[lb  a2]  (la)2 )
2 2 2
l(l 1) k(k 1) kl(kl 1) k(k 1)
 (kla,k[lb  a2 ] (la)2 )  (kla, a2  (la)2 )
2 2 2 2
kl(kl 1)
 (kla, a2  klb)  (kl).(a,b),
2
(k  l)(k  l 1)
(k  l).(a,b)  [(k  l)a, a2  (k  l)b]
2
k(k 1) l(l 1)
k.(a,b)  l.(a,b)  (ka,kb  a2 )  (la,lb  a2
2 2
k(k 1) k(k 1)
 (ka  la,kb  a2  a2  kla2 )
2 2
(k 1)(k  l 1)
 [(k  l)a, a2  (k  l)b].
2
即 (k  l) (a,b)  k (a,b)  l (a,b) 。k [(a ,b )  (a ,b )]  k (a  a ,b  b  a a )
1 1 2 2 1 2 1 2 1 2
k(k 1)
＝[k(a  a ),k(b  b  a a  (a  a ) 2 )] ，
1 2 1 2 1 2 2 1 2
k (a b )  k (a ,b )
1, 1 2 2
k(k 1) k(k 1)
＝ (ka ,kb  a 2 )  (ka ,kb  a 2 )
1 1 2 1 2 2 2 2