文档介绍：RUSER redacted on the night of December 17,2020
高等代数北大版第章****题参考答案
第七章线性变换
1．判别下面所定义的变换那些是线性的，那些不是：
1）在线性空间V中，A,其中V是一固定的向量；
2）在线性空间V中，A其中V是一固定的向量；
3）在P中，A；
4）在P中，A；
5）在P[]中，A；
6）在P[]中，A其中P是一固定的数；
7）把复数域上看作复数域上的线性空间，A。
8）在P中，AX=BXC其中B,CP是两个固定的矩阵.
解1)当时,是;当时,不是。
2)当时,是;当时,不是。
3),时,A,A,
AA(。
4),有
A=A
=
=
=A+A，
AA
=A，
故A是P上的线性变换。
5),并令
则
A=A===A+A，
再令则AAA，
故A为上的线性变换。
6).
A=AA，
AA。
7)不是，例如取a=1,k=I，则A(ka)=-i,k(Aa)=i,A(ka)kA(a)。
8)是，因任取二矩阵，则A(A+A，
A(k)=A，故A是上的线性变换。
,取直角坐标系oxy,以A表示将空间绕ox轴由oy向oz方向旋转90度的变换,以B表示绕oy轴向ox方向旋转90度的变换,以C表示绕oz轴由ox向oy方向旋转90度的变换，证明：A=B=C=E,ABBA,AB=BA，并检验(AB)=AB是否成立。
解任取一向量a=(x,y,z)，则有
因为
Aa=(x,-z,y),Aa=(x,-y,-z)，Aa=(x,z,-y),Aa=(x,y,z)，
Ba=(z,y,-x),Ba=(-x,y,-z)，Ba=(-z,y,x),Ba=(x,y,z)，
Ca=(-y,x,z),Ca=(-x,-y,z)，Ca=(y,-x,z),Ca=(x,y,z)，
所以A=B=C=E。
因为AB(a)=A(z,y,-x)=(z,x,y)，BA(a)=B(x,-z,y)=(y,-z,-x)，
所以ABBA。
3)因为AB(a)=A(-x,y,-z)=(-x,-y,z)，BA(a)=B(x,-y,-z)=(-x,-y,z)，
所以AB=BA。
因为(AB)(a)=(AB)(AB(a))_=AB(z,x,y)=(y,z,x)，AB(a)=(-x,-y,z)，
所以(AB)AB。
[x]中，AB，证明:AB-BA=E。
证任取P[x]，则有
(AB-BA)=AB-BA=A(-B(=-=
所以AB-BA=E。
,B是线性变换，如果AB-BA=E，证明：AB-BA=A(k>1)。
证采用数学归纳法。当k=2时
AB-BA=(AB-ABA)+(ABA-BA)=A(AB-BA)+(AB-BA)A=AE+EA=2a，结论成立。
归纳假设时结论成立，即AB-BA=A。则当时，有
AB-BA=(AB-ABA)+(ABA-BA)=A(AB-BA)+(AB-BA)A=AE+AA=A。
。
：可逆变换是双射。
证设A是可逆变换，它的逆变换为A。
若ab，则必有AaAb，不然设Aa=Ab，两边左乘A，有a=b，这与条件矛盾。
其次，对任一向量b，必有a使Aa=b，事实上,令Ab=a即可。因此,A是一个双射。
,,,是线性空间V的一组基，A是V上的线性变换。证明：A是可逆变换当且仅当A,A,,A线性无关。
证因A(,,,)=(A,A,,A)=(,,,)A，
故A可逆的充要条件是矩阵A可逆，而矩阵A可逆的充要条件是A,A,,A线性无关，故A可逆的充要条件是A,A,,A线性无关.。
:
第1题4)中变换A在基=(1,0,0),=(0,1,0),=(0,0,1)下的矩阵；
[o;,]是平面上一直角坐标系,A是平面上的向量对第一和第三象限角的平分线的垂直投影,B是平面上的向量对的垂直投影，求A,B,AB在基,下的矩阵；
在空间P[x]中，设变换A为，
试求A在基=(I=1,2,,n-1)下的矩阵A；
六个函数=ecos,=esin，=ecos,=esin，
=ecos,=esin，的所有实数线性组合构成实数域上一个六维线性空间，求微分变换D在基(i=1,2,,6)下的矩阵；
已知P中线性变换A在基=(-1,1,1),=(1,0,-1),=(0,1,1)下的矩阵是，求A在基=(1,0,0),=(0,1,0),=(0,0,1)下的矩阵；
在P中，A定义如下：
，
其中
，
求在基=(1,0,0),=(0,1,0),=