文档介绍：3、(10分)某商店顾客的到来服从强度为4人每小时的Poisson过程,已知商店9:00开门,试求:(1)在开门半小时中,无顾客到来的概率;
(2)若已知开门半小时中无顾客到来,那么在未来半小时中,仍无顾客到
来的概率。
3、解:设顾客到来过程为{N(t), t>=0},依题意N(t)是参数为l的Poisson过程。
(1)在开门半小时中,无顾客到来的概率为:
(2)在开门半小时中无顾客到来可表示为,在未来半小时仍无顾客到来可表示为,从而所求概率为:
5.(10分)设 转移概率矩阵
四、(12分)设在[0, t)时段内乘客到达某售票处的数目为一强度是(人/分)的泊松过程,试求:
(1)在5分钟内有10位乘客到达售票处的概率;
(2)第10位乘客在5分钟内到达售票处的概率;
(3)相邻两乘客到达售票处的平均时间间隔。
解记泊松过程为
(1)
(2)设W10为第10位顾客出现的到达时间
(3)设T是两位顾客到达间隔时间,因参数为λ的泊松过程{N(t), t≥0}的间隔时间序列相互独立同服从参数为λ的指数分布,故两位顾客到达的平均间隔时间E{T}=1/λ.
六、(15分)设一个坛子中装有4个球,它们或是红色的,或是黑色的。从坛子中随机地取出一个球,并换入一个另一种颜色的球,经过次取球置换,令表示第次取球后坛中的黑球数。
(1)是否构成马氏链,是否为齐次的,为什么?
(2)试写出其状态空间与一步转移概率矩阵。
解:的参数集为,状态集为,当X(n)的取值确定时,X(n+1)的取值完全由X(n)确定,故为马氏链,(4分)
(4分)
与n无关,故为齐次马氏链。(2分)
(2)一步转移概率矩阵为
二、(12分)设随机过程只有两条样本函数
,
且,,分别求:
(1)一维分布函数和;
(2)二维分布函数。
解 1) 对任意实数t∈R,有
特别有,
故
2)
一、(12分)已知随机过程为随机变量,服从上的均匀分布。试求:
(1)任意两个样本函数,并绘出草图;
(2)随机过程的特征函数;
(3)随机过程的均值函数,自协方差函数。
解(1)
(2)=
=
(3);
,顾客流为泊松流,求:(1)在5分钟内顾客数的平均数;(2)在5分钟内至少有一个顾客到来的概率。
解:设表示内顾客到达的数目,,
故知(1)
(2)
(5分)
三、(12分)设随机过程,其中为常数,随机变量服从瑞利分布:
,且与相互独立,试求随机过程的均值函数与自协方差函数。
解
四、(14分)设随机过程,其中是常数,与是相互独立的随机变量,服从区间上的均匀分布,服从瑞利分布,其概率密度为
试证明为宽平稳过程。
解:(1)
与无关(2).
,
所以
(3)
只与时间间隔有关,所以为宽平稳过程.
七、(15分)设是独立同分布随机变量序列,其分布律为:,(1)试给出的一步转移矩阵,并画出概率转移图;(2)令,计算概率。
解:(1)的一步转移矩阵为转移图为:
-1
1
(2) X(1) X(2) X(3) X(4)
由树杈图可得: