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word高等代数北大版第5章****题参考答案
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word高等代数北大版第5章****题参考答案
第五章二次型
1．用非退化线性替代化以下二次型为标准形，并利用矩阵验算所得结果。
1）4x1x2
2x1x3
2x2x3；
2）x12
2x1x2
2x22
4x2x3
4x32；
3）x12
3x22
2x1x2
2x1x3
6x2x3；
4）8x1x4
2x3x4
2x2x3
8x2x4；
5）x1x2
x1x3
x1x4
x2x3
x2x4
x3x4；
6）x12
2x22
x42
4x1x2
4x1x3
2x1x4
2x2x32x2x42x3x4；
7）x12
x22
x32
x42
2x1x2
2x2x32x3x4。
解1）已知
f
x1,x2,x3
4x1x2
2x1x3
2x2x3，
先作非退化线性替代
x1
y1
y2
x2
y1
y2
（1）
x3
y3
则
fx1,x2,x3
4y12
4y22
4y1y3
4y12
4y1y3
y32
y32
4y22
2y1
y3
3
y32
4y22，
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再作非退化线性替代
y1
1
z1
1
z3
2
2
y2
z2
（2）
y3
z3
则原二次型的标准形为
fx,x
2
,x
3
z2
4z
2
z2
，
1
1
2
3
最后将（2）代入（1），可得非退化线性替代为
x1
1z1
z2
1z3
2
2
x2
1
z2
1
（3）
z1
z3
2
2
x3
z3
于是相应的替代矩阵为
1
0
1
1
0
1
1
1
0
2
2
2
2
T
1
1
0
1
1
1
1
0
0
，
0
0
1
0
0
1
2
0
2
0
1
且有
1
0
0
TAT
0
4
0
。
0
0
1
2）已知fx1,x2,x3
x12
2x1x2
2x22
4x2x3
4x32，
由配方法可得
fx1,x2,x3
x12
2x1x2
x22
x22
4x2x34x32
x
1
x2
x
2
2x2
，
2
3
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于是可令
y1
x1
x2
y2
x2
2x3，
y3
x3
则原二次型的标准形为
fx1,x2,x3
y12
y22，
且非退化线性替代为
x1
y1
y2
2y3
x2
y2
2y3
，
x3
y3
相应的替代矩阵为
1
1
2
T
0
1
2，
0
0
1
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且有
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1
1
0
1
1
2
1
0
0
TAT
11
0
1
22
0
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