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高等代数(北大版)第5章****题参考答案
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高等代数(北大版)第5章****题参考答案
第五章二次型
1．用非退化线性替换化下列二次型为标准形，并利用矩阵验算所得结果。
1） 4x1 x2
2x1 x3
2x2 x3 ；
2） x12
2x1 x2
2x22
4x2 x3
4x32 ；
3） x12
3x22
2x1 x2
2 x1 x3
6x2 x3 ；
4） 8x1 x4
2x3 x4
2x2 x3
8x2 x4 ；
5） x1 x2
x1 x3
x1 x4
x2 x3
x2 x4
x3 x4 ；
6） x12
2x22
x42
4x1x2
4x1 x3
2x1 x4
2x2 x3 2x2 x4 2x3 x4 ；
7） x12
x22
x32
x42
2x1x2
2x2 x3 2 x3 x4 。
解 1）已知
f
x1 , x2 , x3
4x1 x2
2x1 x3
2x2 x3 ，
先作非退化线性替换
x1 y1 y2
x2 y1 y2 （ 1）
x3 y3
则
f x1 , x2 , x3
4 y12
4y22
4 y1 y3
4y12
4y1 y3
y32
y32
4y22
2y1
y3
3
y32
4 y22 ，
再作非退化线性替换
y1
1
z1
1
z3
2
2
y2
z2
（ 2）
y3
z3
则原二次型的标准形为
f x
1
, x
2
, x
z2
4z2
z
2
，
3
1
2
3
最后将（ 2）代入（ 1），可得非退化线性替换为
x1
1 z1
z2
1 z3
2
2
x2
1
z1
z2
1
（ 3）
2
z3
2
x3
z3
于是相应的替换矩阵为
1
0
1
1
0
1
1
1
0
2
2
2
2
T
1
1
0
1
1
1
1
0
0
，
0
0
1
0
0
1
2
0
2
0
1
且有
1
0
0
T AT
0
4
0
。
0
0
1
2）已知 f x1 , x2 , x3
x12
2x1 x2
2x22
4x2 x3
4x32
，
由配方法可得
f x1 , x2 , x3
x12
2x1 x2
x22
x22
4x2 x3
4x32
x
x
2
x
2
2x
2
，
1
2
3
于是可令
y1 x1 x2
y2 x2 2x3 ，
y3 x3
则原二次型的标准形为
f x1, x2 , x3
y12
y22 ，
且非退化线性替换为
x1
y1
y2
2 y3
x2
y2
2y3
，
x3
y3
相应的替换矩阵为
1 1 2
T 0 1 2，
0 0 1
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高等代数(北大版)第5章****题参考答案
且有
1
0
0
1
1
0
1
1
2
1
0
0
T AT
1 1
0
1
2
2
0
1
2
0
1
0
。
2
2
1
0
2
4
0
0
1
0
0
0
（ 3）已知 f x1 , x2 , x3
x12
3x22
2x1 x2
2x1 x3
6x2 x3 ，
由配方法可得