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第五章二次型
1．用非退化线性替换化以下二次型为标准形，并利用矩阵验算所得结果。
1〕；
2〕；
3〕；
4〕；
5〕；
6〕；
7〕。
解 1〕确定，
先作非退化线性替换
种情形；并写出所作的非退化线性替换。
解 1〕已求得二次型

的标准形为
，
且非退化线性替换为
，
在实数域上，假设作非退化线性替换
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，
可得二次型的标准形为
。
在复数域上，假设作非退化线性替换
，
可得二次型的标准形为
。
2〕已求得二次型

的标准形为
，
且非退化线性替换为
，
故该非退化线性替换已将原二次型化为实数域上的标准形和复数域上的标准形
。
3〕已求得二次型

的标准形为
，
且非退化线性替换为
，
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在实数域上，上面所作非退化线性替换已将二次型化为标准形，即
。
在复数域上，假设作非退化线性替换
。
可得二次型的标准形为
。
已求得二次型

的标准形为
，
且非退化线性替换为
，
在实数域上，假设作非退化线性替换
，
可得二次型的标准形为
。
〔2〕在复数域上，假设作非退化线性替换
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，
可得二次型的标准形为
。
〔5〕已求得二次型

的标准形为
，
且非退化线性替换为
，
在实数域上，假设作非退化线性替换
，
可得二次型的标准形为
。
在复数域上，假设作非退化线性替换
，
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可得二次型的标准形为
。
6〕已求得二次型

的标准形为
，
且非退化线性替换为
。
〔1〕在实数域上，假设作非退化线性替换
，
可得二次型的标准形为
。
〔2〕在复数域上，假设作非退化线性替换
，
可得二次型的标准形为
。
7〕已求得二次型

的标准形为
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，
且非退化线性替换为
。
〔1〕在实数域上，上面所作非退化线性替换已将二次型化为标准形，即
。
在复数域上，假设作非退化线性替换
，
可得二次型的标准形为
。
2．证明：秩等于的对称矩阵可以表成个秩等于1的对称矩阵之和。
证由题设知且，于是存在可逆矩阵使
，
且为对角阵，又因为均为可逆矩阵，所以有
，
其中
于是

。
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