高等代数北大版第5章习题参考答案.docx

文档介绍：最后将（2）代入（1）,可得非退化线性替换为
最后将（2）代入（1）,可得非退化线性替换为
4x1x2 2x1x3
2x2 x3;
2 c C 2
x1 2x1x2 2x2
4x2x3 4x2;
x； 3x2 2x1 x2
2x1 x3 6x2x3 ；
8x1x4 2x3 x4 2x2x3 8x2x4 ；
x1x2 x1x3 x1x4 x2x3 x2x4 x3x4;
2c 22, " C C C C
x1 2x2 x4 4x1x2 4x1x3 2x1x4 2x2x3 2x2M 2x3x4 ;
x； x； x2 x2 2x1x2 2x2x3 2x3x4。
解1）已知f ”,乂2?3
4x1x2
2x1x3 2x2x3 ,
第五章二次型
1.
用非退化线性替换化下列二次型为标准形，并利用矩阵验算所得结果。
最后将（2）代入（1）,可得非退化线性替换为
最后将（2）代入（1）,可得非退化线性替换为
先作非退化线性替换
x1
y1
y2
x2
y1
y2
(1)
x3
y3
4y12
4y2 4y1y3
4y12
4y1y3
2
Y3
4y；
2y1
3
y3
最后将（2）代入（1）,可得非退化线性替换为
最后将（2）代入（1）,可得非退化线性替换为
最后将（2）代入（1）,可得非退化线性替换为
最后将（2）代入（1）,可得非退化线性替换为
再作非退化线性替换
y1
y2
1
2 z1
z2
1
2 z3
(2)
y3
Z3
最后将（2）代入（1）,可得非退化线性替换为
最后将（2）代入（1）,可得非退化线性替换为
最后将（2）代入（1）,可得非退化线性替换为
最后将（2）代入（1）,可得非退化线性替换为
则原二次型的标准形为
最后将（2）代入（1）,可得非退化线性替换为
最后将（2）代入（1）,可得非退化线性替换为
最后将（2）代入（1）,可得非退化线性替换为
最后将（2）代入（1）,可得非退化线性替换为
x1, x2 , x3

Z2 4z2
最后将（2）代入（1）,可得非退化线性替换为
最后将（2）代入（1）,可得非退化线性替换为
1 1 2
T 0 1 2
0 0 1
1 1 2
T 0 1 2
0 0 1
1 1
Xi Zl Z2 Z3
2 2
(3)
1
X2 -Z1 Z2 -Z3
2
X3 Z3
1 1 2
T 0 1 2
0 0 1
1 1 2
T 0 1 2
0 0 1
于是相应的替换矩阵为
1 1 2
T 0 1 2
0 0 1
1 1 2
T 0 1 2
0 0 1
1 1 2
T 0 1 2
0 0 1
1 1 2
T 0 1 2
0 0 1
1
2 1
2 0
1 2
1
2
1
1 1 2
T 0 1 2
0 0 1
1 1 2
T 0 1 2
0 0 1
1 1 2
T 0 1 2
0 0 1
1 1 2
T 0 1 2
0 0 1
且有
1 0 0
TAT 0 4 0。
0 0 1
2 )已知 f X1 ,X2,X3
xj 2x1x2 2X2 4x2x3 4X2,
1 1 2
T 0 1 2
0 0 1
1 1 2
T 0 1 2
0 0 1
1 1 2
T 0 1 2
0 0 1
1 1 2
T 0 1 2
0 0 1
由配方法可得
f X1, X2, X3
2
X1
2x1x2
2
X2
2 2
x2 4x2x3 4x3
X1
X2
X2
1 1 2
T 0 1 2
0 0 1
1 1 2
T 0 1 2
0 0 1
1 1 2
T 0 1 2
0 0 1
1 1 2
T 0 1 2
0 0 1
于是可令
y1
X1
y2
X2
X2
2x3 ,
y3
X3
1 1 2
T 0 1 2
0 0 1
1 1 2
T 0 1 2
0 0 1
1 1 2
T 0 1 2
0 0 1
1 1 2
T 0 1 2
0 0 1
2
V2
则原二次型的标准形为
X1, X2, X3
且非退化线性替换为
X1 y1 y2 2 y3
X2 y2 2