文档介绍：函数的简单性质——单调性
创设情境
如图,气温T是关于时间t的函数,记为T=f(t).
(1)怎样描述这一天内气温随时间变化而变化的情况?
(2)怎样用数学语言来刻画上述时间段内“随着时间的增加,气温逐渐升高或是下降”这一特征?
(3)在区间上,气温是否随时间增加而增大?
2
4
6
8
10
12
14
16
18
20
22
24
-2
4
6
8
10
2
O
t(时刻)
T(C°)
分别作出函数y=x+2,y=-x+2, 的图像,并且观察自变量变化时函数值的变化。
x
y
1
=
数学理论
一般地,设函数y=f(x)的定义域为A,
区间IA.
如果对于区间I内的任意两个值x1,
x2,当x1<x2时,都有f(x1)<f(x2),那么就
说y=f(x)在区间I上是单调增函数,I称为
y=f(x)的单调增区间.
数学理论
如果对于区间I内的任意两个值x1,x2,当
x1<x2时,都有f(x1)>f(x2),那么就说y=f(x)在
区间I上是单调减函数,I称为y=f(x)的单调减
区间.
如果函数y=f(x)在区间I上是单调增函数或
单调减函数,那么就说函数y=f(x)在区间I上具

调区间.
判断题:
①已知因为f(-1)<f(2),所以函数f(x)是增函数。
②若函数f(x)满足f(2)<f(3)则函数f(x)在上为增函数。
③若函数f(x)在区间和(2,3)上均为增函数,则函数在区间(1,3)上为增函数。
④因为函数在区间上都是减函数,所以在上是减函数。
x
=
[
]
3
(
]
2
x
=
)
(
+
,
0
x
x
=
x
f
1
)
(
2
,
1
,
x
f
1
)
(
(
)
¥
¥
-
,
,
0
f
1
)
(
(
)
(
)
¥
+
¥
-
,
,
0
0
U
①单调性是对定义域内某个区间而言的,离开了定义域和相应区间就谈不上单调性。
②对于某个具体函数的单调区间,可以是整个定义域(如一次函数),可以是定义域内某个区间(如二次函数),也可以根本不单调(如常数函数)。
③单调性是对定义域的某个区间上的整体性质,不能用特殊值说明问题。
④函数在定义域内的两个区间A,B上都是增(或减)函数,一般不能认为函数在A与B并集上是增(或减)函数。
例题讲解
练习:画出下列函数图象,并写出单调区间:
(1)y=-x2+2;
(2)y= (x≠0);
(3)y= +1 (x≠0) .
解:(1)单调增区间为(-∞,0],单调减区间为
(0,+∞).
(2)单调减区间为(-∞,0)和(0,+∞).
(3)单调减区间为(-∞,0)和(0,+∞).
注意:
(1)可以根据函数的图象写出函数的单调
区间;
(2)写单调区间时,注意区间的端点;
(3)将y=f(x)的图象上下平移时,单调区
间不发生改变;
(4)单调区间不能随便求并集.
例题讲解
例2 求证:函数 f(x)=- -1在区间(-∞,0)
上是单调增函数.
例题讲解
证明:任取x1<x2<0,则
f(x2)-f(x1)=(- -1)-(- -1)
= - = .
因为x1<x2<0,所以x1x2>0,x2-x1>0,所
以>0,即f(x2)-f(x1)>0, 所以f(x2)>f(x1).
故f(x)在(-∞,0)上是单调增函数.