文档介绍：高等数学线性代数
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线性空间是线性代数最基本的概念之一，也是一个抽象的概念，它是向量空间概念的推广．
线性空间是为了解决实际问题而引入的，它是
某一类事物从量的方面的一个抽象，即把实际问题
看作向量空间，高等数学线性代数
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线性空间是线性代数最基本的概念之一，也是一个抽象的概念，它是向量空间概念的推广．
线性空间是为了解决实际问题而引入的，它是
某一类事物从量的方面的一个抽象，即把实际问题
看作向量空间，进而通过研究向量空间来解决实际
问题．
一、线性空间的定义
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若对于任一数与任一元素，总有唯
一的一个元素与之对应，称为与的积，
记作
定义１设是一个非空集合，为实数域．如果
对于任意两个元素　，总有唯一的一个元
素与之对应，称为与的和，记作
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如果上述的两种运算满足以下八条运算规律，那
么就称为数域上的向量空间（或线性空间）．
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2 ．向量空间中的向量不一定是有序数组．
3 ．判别线性空间的方法：一个集合，对于定
义的加法和数乘运算不封闭，或者运算不满足八条
性质的任一条，则此集合就不能构成线性空间．
说明
1．凡满足以上八条规律的加法及乘数运算，称为线性运算．
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（１）一个集合，如果定义的加法和乘数运
算是通常的实数间的加乘运算，则只需检验对运
算的封闭性．
例１实数域上的全体矩阵，对矩阵的加法
和数乘运算构成实数域上的线性空间，记作．
线性空间的判定方法
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通常的多项式加法、数乘多项式的乘法两种运
算满足线性运算规律．
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例４正弦函数的集合
对于通常的函数加法及数乘函数的乘法构成线性空
间．
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是一个线性空间.
例５在区间上全体实连续函数，对函数的
加法与数和函数的数量乘法，构成实数域上的线性
空间．
一般地
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例６正实数的全体，记作，在其中定义加法
及乘数运算为
验证对上述加法与乘数运算构成线性空间．
（２）一个集合，如果定义的加法和乘数运
算不是通常的实数间的加乘运算，则必需检验是
否满足八条线性运算规律．
证明
所以对定义的加法与乘数运算封闭．
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下面一一验证八条线性运算规律：
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所以对所定义的运算构成线性空间．
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不构成线性空间．
对于通常的有序数组的加法及如下定义的乘法
例７个有序实数组成的数组的全体
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1．零元素是唯一的．
证明
假设是线性空间V中的两个零元
素，
由于
所以
则对任何，
有
二、线性空间的性质
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2．负元素是唯一的．
证明
假设有两个负元素与，
那么
则有
向量的负元素记为
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证明
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4．如果，则或 .
证明
假设
那么
又
同理可证：若则有
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三、线性空间的子空间
定义2　设是一个线性空间，是的一个非空子
集，如果对于中所定义的加法和乘数两种运算
也构成一个线性空间，则称为的子空间．
定理　线性空间的非空子集构成子空间的充分
必要条件是：对于中的线性运算封闭．
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解
(1)不构成子空间.
因为对
例8
有
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即对矩阵加法不封闭，不构成子空间.
对任意
有
于是
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满足
且
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线性空间的元素统称为“向量”，但它可以是
通常的向量，也可以是矩阵、多项式、函数等.
线性空间
是一个集合
对所定义的加法及数乘运算封闭
所定义的加法及数乘符合线性运算
四、小结
线性空间是二维、三维几何空间及维向量
空间的推广，它在理论上具有高度的概括性.
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思考题
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思考题解答