文档介绍：二次型的标准形不是唯一的。
标准形中所含项数是确定的( 即是二次型的秩 )。
限定变换为实变换时，标准形中正系数的个数是不变的。
正定二次型和正定矩阵的概念
定理11 ( 惯性定理 ) 设有实二次型
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例16
判定对称矩阵
正定性。
解方法一
所以A 是正定的。
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方法二：A 的特征多项式为
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由实二次型的矩阵表示及对称矩阵的正定性判别法知，判断二次型的正定性也有两种方法。
一是利用对称矩阵A 的正定性。若二次型 f 的对称矩阵A 是正定的，则f 是正定二次型；若A 是负定的，则 f 也是负定二次型。
二是将 f 化为标准形。若其标准形的 n 个系数全为正，则 f 是正定的；若 f 的标准形的 n 个系数全为负，则 f 是负定的。
由于将 f 化为标准形非常复杂，因此第二种方法一般不用。
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判别二次型正定的方法
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解　f 的矩阵是
所以 f 是负定的。
例17
判别二次型
的正定性。
A 的各阶主子式为：
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例18
设二次型
解
f 的矩阵是
A 的各阶主子式为：
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判别二次型
解　f 的矩阵是
所以 f 既不是正定的，也不是负定的，即不定二次型。
的正定性。
A 的各阶主子式为：
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例19
设C 是满秩矩阵，实对称矩阵A 是正定的，则C TAC是正定的。
证
因为A 为正定，所以对任意
即C TAC是正定的。
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证明：若实对称矩阵A = ( aij ) 为正定矩阵，
则 aii > 0 ( i =1, 2, …, n ).
证
因为A 为正定，所以对任意
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第五章小结
本章通过向量的内积，从而给n维向量建立了度
量的概念，结合方阵的特征值理论，给出了判定矩
阵是否可以对角化的判定方法；通过对实对称矩阵
所具有的特点，说明实对称矩阵不仅可以相似对角
化，而且可以正交对角化；从而为二次型化标准型
提供了一种重要方法：正交变换法。由二次型与实
对称矩阵的一一对应关系，将二次型的讨论转化为
矩阵的讨论，并讨论了正定二次型。
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第五章主要方法
一) 方阵的特征值与特征向量的求法
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二 ) 用正交方阵将方阵化为对角阵的方法
(1).求A 的特征值；
(2).求A 的特征值对应的n 个线性无关的特征向量；
(3). 将重特征值所对应的特征向量正交化，连同单特征值所对应的特征向量一起就得到两两正交的特征向量；
(4). 将 (3) 中 n 个特征向量单位化，得到 n 个两两正交的单位特征向量；
(5). 以这些特征向量作为列向量的矩阵就是所求的正交矩阵，且有
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三) 化二次型为标准型的方法
(1).正交变换法
1 .写出二次型对应的矩阵A .
2 .将A化为对角阵，求出正交阵P .
3 .写出标准型，且正交变换为X=PY .
(2).配方法
，直接配方；
,化成含有平方项,再配方;
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四判定矩阵与二次型为正定的方法
：
2. 用霍尔维兹定理： A 的各阶主子式都为正，
则A 是正定的;
3. 用A的特征值： A 的特征值全为正，则A
是正定的;
化A所对应的二次型为标准形,根据标准形
中的正平方项个数判断;
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