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第二类曲面积分的计算方法
海林纬纬
摘要利用定义法，参数法，单一坐标平面投影法，分项投影法，高斯公式，Stokes公式，积
分区间对称性，向量计算形式以及利用两类曲面积分影区域，当曲面取上侧时公式的右端取“”号，取下侧时取“”，计算曲面积分时，只要把其中变量换为表示∑的函数，然后在的投影区域上计算二重积分，并考虑到符号的选取即可，这一过程可总结成口诀：“一代二投三定向”.
类似地，如果曲面的方程，则
如果曲面∑的方程为,则
例1 计算积分：
其中是球面在第一、八卦限的部分，取球面外侧. (如图)
解设,曲面在第一、八卦限部分的方程分别为:
∶= ∶=—
它们在面上的投影区域都是单位圆在第一象限的部分.
∴+
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图
计算第二型曲面积分时，千万不能与二重积分等同或混淆,第二型曲面积分是按一定规则化为投影区域上的二重积分进行计算的，所以在计算过程中一定要牢记口诀：“一代二投三定向”.请看下例：
例2 计算:
++，
其中曲面为球面限于，的部分外侧 (如图).
解对于，要将投影到面上，且方程表示
为 ,取前侧,由，消去得
，因此投影区域：—zz，于是
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计算,要将投影到面上，此时方程表示为
(不是单值的)，再把分为左片(即的部分)且取左侧和右片(即的部分)且取右侧，在面上投影域为：≤z≤(注意投影区域不是一条曲线)，因此
+
对于,要将投影到面上，投影域为：，此时方程应为，且取上侧，于是== ，故.
图
利用参数方程的计算方法
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如果光滑曲面由参数方程给出：
.
若在上各点他们的函数行列式不同时为零，则分别有
(1)
(2)
(3)
注三式中的正负号分别对应曲面的两个侧，特别当平面的正方向对应于曲面所选定的正向一侧时，取正号，否则取负号.
(4)
例如若为：，则可以看成参数为的参数方程确定的曲面，则由于，
所以
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由此可见，只要确定一次符号且不需要向其它坐标平面进行投影，从而比我们常用
的方法更简便.
下面举例说明：
例 1 计算
，
其中为椭圆面的上半部分并选取外侧.
解把曲面表示为参量方程：
.
由式有
其中
=，
，式右端正号，即
例 2 计算积分
，
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为曲面的上侧.
解取，则，，
取为曲面
.
.
从而
.
例3 计算
其中是球面的上半部分并取外侧为正向.
解1 可表示为
其中
由于积分按S上侧进行，且==1，故式应取正号，而
所以
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解2 由于可表示为，
所以
本例计算虽然简单，但不难看出用公式计算时不必对分划并讨论符号代之以在平面上二重积分.
例4 计算
其中，是球面，且设积分是沿球面外侧.
解可表示为
.
由于在第一象限积分按上侧积分，而= ，故应取正号.
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因为
=
类似可求得 =，所以.
单一坐标平面投影法
设光滑曲面：,（是在平面上的投影区域），函数在上连续，在上具有一阶连续偏导数，则
，
当取上侧时，上式右边取正号；当取下侧时，上式右边取负号.
若的方程为，也有类似的公式：
；
当取前侧时，上式右边取号；当取后侧时，上式右边取负号.
.
当取右侧时，上式右边取正号；当取左侧时，上式右边