立体图形上的最短路径问题 (1).pdf

文档介绍：: .
立体图形 SF 即为所求的最短路线.
过点 S 作点 F 所在母线的垂线，得到 RtSEF .
SF  302  (18 11)2  34cm【难度】较易
【例题 4】（2015·红河期末）如下图，有一圆锥形粮堆，其主视图是边长为 6m 的正三角形
ABC，粮堆母线 AC 的中点 P 处有一老鼠正在偷吃粮食，此时小猫正在 B 处，它要沿圆锥侧
面到达 P 处捕捉老鼠，则小猫所经过的最短路程是__________m（结果不取近似值）
【答案】 3 5
【解析】
试题分析：
求小猫经过的最短距离，首先应将其侧面展开，将问题转化为平面上两点间的距离的问题，
根据展开图中扇形的弧长与圆锥底面周长相等可求展开图的扇形圆心角度数，故可得出展开
图中 BAP  90，即可用勾股定理求出小猫经过的最短距离 BP 长.
试题解析：
解：作出圆锥侧面展开后的扇形图如下图，设该扇形的圆心角度数为 n ，
n  AC
由展开扇形圆弧长等于底面圆周长，可得    BC ，
180
再由 AC  BC  6m ，可得 n 180 ，
1
故在展开的平面图形中， BAC  180  90
2
点 B 到 P 的最短距离为 BP  AB 2  AP 2  62  32  3 5(m)
【难度】一般类型三 通过轴对称来转化
【例题 5】桌上有一个圆柱形玻璃杯（无盖），高为 12 厘米，底面周长 18 厘米，在杯口内
壁离杯口 3 厘米的 A 处有一滴蜜糖，一只小虫从桌上爬至杯子外壁，当它正好爬至蜜糖相
对方向离桌面 3 厘米的 B 处时，突然发现了蜜糖，问小虫至少爬多少厘米才能到达蜜糖所
在位置？
【答案】15 厘米
【解析】
试题分析：
把圆柱展开，得到矩形形状，A、B 的最短距离就是线段 BA' 的长，根据勾股定理解答即可
试题解析：
解：如图所示，作 A 点关于杯口的对称点 A'
则 BA'  92 122 15厘米
【难度】较易
三、实战演练
类型一 通过平移来转化
1．如图是一个三级台阶，它的每一级的长、宽、高分别为 20dm、3dm、2dm．A 和 B 是这
个台阶上两个相对的端点，点 A 处有一只蚂蚁，想到点 B 处去吃可口的食物，则蚂蚁沿着
台阶面爬行到点 B 的最短路程为 dm．【答案】25dm
【解析】
试题分析：
先将图形平面展开，再根据勾股定理进行解答
试题解析：
解：如图，三级台阶平面展开图为长方形，长为 20dm，宽为（2+3）×3dm，
则蚂蚁沿台阶面爬行到 B 点最短路程是此长方形的对角线长．
设蚂蚁沿台阶面爬行到 B 点最短路程为 xdm，
由勾股定理可得 x2=202+[（2+3）×3]2，
解得 x=25．
即蚂蚁沿着台阶面爬行到点 B 的最短路程为 25dm．
【难度】较易
类型二 通过旋转