文档介绍：1
第十四章. .
§1 排队过程的组成部分
§2 单服务台泊松到达、负指数服务时间的排队模型
§3 多服务台泊松到达、负指数服务时间的排队模型
§4 排队系统的经济分析
§5 单服务台泊松到达、任意服务时间的排队模型
§6 单服务台泊松到达、定长服务时间的排队模型
§7 多服务台泊松到达、任意的服务时间、损失制排队模型
§8 顾客来源有限制排队模型
§9 单服务台泊松到达、负指数服务时间、系统容量有限制的排队模型
§10 多服务台泊松到达、负指数服务时间、系统容量有限制的排队模型
*§11 生灭过程及生灭过程排队系统
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一、基本概念
一些排队系统的例子
排队系统顾客服务台服务
电话系统电话呼叫电话总机接通呼叫或取消呼叫
售票系统购票旅客售票窗口收款、售票
设备维修出故障的设备修理工排除设备故障
防空系统进入阵地的敌机高射炮瞄准、射击,敌机被击落或离开
排队的过程可表示为:
排队
服务机构服务
服务后顾客离去
排队系统
顾客到达
§1 排队过程的组成部分
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考虑要点:
1、服务台(或通道)数目:单服务台(单通道)、多服务台(多通道)。
2、顾客到达过程:本教材主要考虑顾客的泊松到达情况。
满足以下四个条件的输入流称为泊松流(泊松过程)。
*平稳性:在时间区间[t, t+t) 内到达k个顾客的概率与t无关,只与t 有关,记为 pk(t);
*无后效性:不相交的时间区间内到达的顾客数互相独立;
*普通性:在足够短的时间内到达多于一个顾客的概率可以忽略;
*有限性:任意有限个区间内到达有限个顾客的概率等于1。
泊松分布为单位时间平均到达的顾客数
P (x) = x e-/ x! (x = 0, 1, 2,……)
§1 排队过程的组成部分
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§1 排队过程的组成部分
3、服务时间分布: 服从负指数分布,为平均服务率,即单位时间服务的顾客数,
P(服务时间≤ t ) = 1- e- t 。
4、排队规则分类
(1) 等待制: 顾客到达后,一直等到服务完毕以后才离去,
先到先服务,后到先服务,随机服务,有优先权的服务;
(2) 损失制: 到达的顾客有一部分未接受服务就离去。
5、平稳状态: 业务活动与时间无关。
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排队系统的符号表示:
一个排队系统的特征可以用五个参数表示,形式为:
A/B/C/D/E
其中
A ––顾客到达的概率分布,可取M、 D、G 、Ek等;
B ––服务时间的概率分布,可取M、D、 G 、 Ek等;
C ––服务台个数,取正整数;
D ––排队系统的最大容量,可取正整数或;
E ––顾客源的最大容量,可取正整数或。
例如 M / M / 1 / /
表示顾客到达过程服从泊松分布,服务时间服从负指数分布,一个服务台,排队的长度无限制和顾客的来源无限制。
§1 排队过程的组成部分
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M / M / 1 / ∞/ ∞
单位时间顾客平均到达数,单位平均服务顾客数(< )
数量指标公式:
1. 系统中无顾客的概率 P0 =1/
2. 平均排队的顾客数 Lq =2/()
3. 系统中的平均顾客数 Ls = Lq + /
4. 顾客花在排队上的平均等待时间 Wq = Lq /
5. 顾客在系统中的平均逗留时间 Ws = Wq+ 1/
6. 顾客得不到及时服务必须排队等待的概率 Pw =/
7. 系统中恰好有 n 个顾客的概率 Pn =(/)n P0
§1 排队过程的组成部分
§2 单服务台泊松到达、负指数服务时间的排队模型
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§2 单服务台泊松到达、负指数服务时间的排队模型
在上面的公式中,我们都认定<,即到达率小于服务率,如果没有这个条件,则排队的长度将无限制地增加,服务机构根本没有能力处理所有到达的顾客,<也就是/<1,我们称/为服务强度。
例某储蓄所只有一个服务窗口。根据统计分析,顾客的到达过程服从泊松分布,平均每小时到达顾客36人;储蓄所的服务时间服从负指数分布,平均每小时能处理48位顾客的业务。试求这个排队系统的数量指标。
解平均到达率= 36/60 = ,
平均服务率= 48/60 = 。
P0 =1/= 1 = ,
Lq =2/() = ()2 / ( ) = (个顾客),
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Ls = Lq + /= + =3 (个顾客),
Wq = Lq / = = (分钟),
Ws = Wq+ 1/= +1/ =5 (分钟)