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函数对称性、周期性全解析
函数对称性、周期性是函数这一部分在历年高考中的一个重点,现在全部解析如下：一、同一函数的周期性、对称性问题〔即函数自身〕
1、周期性：对于函数 y f
称；但在曲线 c〔x,y〕=0 , 就有可能会出现关于 y b 对称 , 比如圆
；
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c〔x, y〕
x 2 y2 4
0 它会关于 y=0 对称；
；
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4、周期性：
（ 1）函数 y

f 〔 x〕满意如下关系系,就

f 〔 x〕的周期为 2T
；
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；
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A 、 f 〔 x T 〕
f 〔 x〕
B 、 f 〔x T〕
1
f 〔x〕
或f 〔x T〕
1
f 〔x〕
；
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；
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C 、 f 〔 x T 〕 4
1 f 〔 x〕
或
1 f 〔 x〕
f 〔x T 〕 4
1 f 〔 x〕
1 f 〔 x〕

（等式右边加负号亦成立）
；
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D 、其他情形
；
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（ 2 ）函数 y
f 〔 x〕满足
f 〔a x〕
f 〔a
x〕且
f 〔b x〕
f 〔b
x〕 , 就可推出
；
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；
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f 〔 x〕
f 〔2a x〕
f [ b
〔2a
x b〕]
f [ b
〔2a
x b〕]
f [ x
2〔b
a〕] 即
；
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可以得到 y f 〔x〕的周期为 2〔b-a〕 ,即可以得到“假如函数在定义域内关于垂直于
x 轴两条直线对称,就函数肯定是周期函数”
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（ 3）假如奇函数满意
f 〔x T 〕
f 〔 x〕就可以推出其周期是 2T,且可以推出对称轴为
；
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x T 2 kT 〔 k 2
z〕 , 根据
f 〔x〕
f 〔 x
2T 〕

可以找出其对称中心为
；
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〔 kT,0〕〔k z〕（以上 T 0 ）
；
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假如偶函数满意 f 〔x T 〕
T
f 〔 x〕就亦可以推出周期是 2T,且可以推出对称中心
；
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为〔 2kT ,0〕〔k 2
z〕 , 根据 f 〔x〕 f 〔x 2T〕可以推出对称轴为
；
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x T 2kT 〔k z〕（以上 T 0 ）
；
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（ 4）假如奇函数 y
f 〔 x〕满意
f 〔T x〕
f 〔T