文档介绍：《机械优化设计》
合肥工业大学
吕新生张晔
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《机械优化设计》
本书目录
第1章概述
第2章约束优化设计的直接法
第3章约束优化设计的间接法
第4章混合离散变量的优化设计方法
第5章多目标优化设计方法
第6章复杂系统优化的分解—协调法
第7章其它优化设计方法
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《机械优化设计》
第3章约束优化设计的间接法
约束优化间接法的基本思想和理论
约束优化间接法的基本思想
约束优化间接法的基本理论
罚函数法
外点罚函数法
内点罚函数法
混合罚函数法
增广拉格朗日乘子法
等式约束问题
不等式问题约束问题
应用实例
约束变尺度法
用序列二次规划寻找Pk
一维搜索中的监控(Watchdog)技术
尺度矩阵的修正
框图
思考与练习
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《机械优化设计》
约束优化间接法的基本思想和理论
约束优化间接法的基本思想
约束优化间接法的基本理论
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《机械优化设计》
约束优化间接法的基本思想
将一个约束优化问题转化为一个或一系列无约束优化问题求解,可以充分利用各种成熟有效的无约束优化方法,适用于求解具有不等式约束和等式约束的优化设计问题。
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《机械优化设计》
约束优化间接法的基本理论
1. 等式约束优化问题
min f(x)
. hj(x)=0 j=1、2、……q
关于这个问题的求解实际上我们在《高等数学》的学习中已经接触过,那就是求条件极值的拉格朗日乘子法,具体方法是:
构造拉格朗日函数(其中λ称为拉格朗日乘子)
分别对x、λ求偏导,并令其偏导函数为0(求驻点),解得x*、λ*
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《机械优化设计》
这样解出的x*就可能是原问题的极值点(最优解),至于如何确定它是否为极值点,可根据实际问题本身的性质来确定,但是,《高等数学》中没有对此作出证明。
现在,我们在此基础上继续研究:原等式约束优化问题(原问题)与拉格朗日函数求驻点问题(拉格朗日问题)之间、原问题的极值点与拉格朗日函数的驻点之间有什么内在联系?
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《机械优化设计》
:拉格朗日定理(等式约束优化问题最优性必要条件):
设
(1) x*是原问题的局部最优点
(2) f(x)、hj (x)在 x* 的某个邻域内连续可微
(3) ▽hj(x*) 线性无关
那么,存在实数λj*,使得
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对于拉格朗日函数,
其梯度为
其中:
拉格朗日函数的驻点x*和λ*满足
因此,拉格朗日函数的驻点就可能是原问题的最优解。
原问题的最优性必要条件
表明x* 满足原问题的所有约束
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《机械优化设计》
:(最优性充分条件)
设
(1) f(x)、hj (x) 是二阶连续可微函数
(2) x*、λ*是相应的拉格朗日函数驻点
(3) 对任意非0、且满足vT▽hj(x*)=0 j=1、2、……q 的向量v,下式成立:
vT ▽x2 L(x*,λ*) v >0
那么,x*是原问题的严格局部极小点。
这个定理的几何意义是:
在拉格朗日函数的驻点处,如果拉格朗日函数的Hesse阵在约束曲面的切平面上正定(并不需要在整个设计空间正定),那么x*就是原问题的严格局部极小点。
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