文档介绍：坐标表象中定态方程的严格解
一维谐振子
()
第六章外场中的定态问题
定态薛定谔方程:
哈密顿算符:
()
为求解方便,做代换:
()
则:
()
级数解法
先考虑时的渐近行为, 此时方程为:
令:
()
其中为的多项式, 则:
()
()
代入()得:
()
考虑到波函数的有限性, 上式应取负号, 即:
()
把渐近解分离出来, ()的解写成:
代回()得:
()
()
()称厄米方程.
()
在处(该处方程解析)将解展开为泰勒级数:
()
代回()得其系数满足的递推公式:
可见, 由可以递推出所有偶(奇)数幂系数.
其解可写为:
()
()
其中:
()
为偶函数.
由于:
宇称守恒
()
故其定态解应有确定的宇称(仅取()或()).
定解限制, 能量量子化
根据解标准化条件:
()
对上述的无穷级数解做进一步的考察.
()
由于:
()
对照:
()
有相同的相邻系数比, 故:
因此无穷级数解违反标准化条件, 应做截断.
令:
得:
()
厄米多项式
上述多项式解称厄米多项式, 可写成通式:
()
()
并满足如下递推关系:
()
前几个为:
()
定态波函数
定态波函数:
()
谐振子概率密度
图为的概率密度, 并与经典情形(虚线): 做比较.
粒子在有心力场中的运动
有心力场中:
()
其中, 与无关, 为二体约化质量.
我们知道, 有共同本征函数系, 定态薛定谔方程:
()
其解可分离变量写为:
()
把()代入()并利用:
()
得:
()
做变换:
()
()
得:
()
由于:
则:
()定解条件
()可等效成粒子在势场:
()
做一维运动的定态方程, 对应于束缚态.
归一化条件:
()
电子在库仑场中的运动
()
此时:
得径向方程:
()
引入:
()
径向方程
其中:
玻尔(第一)轨道半径
()
轨道上电子势能
()
得:
()