文档介绍：课题: 第九讲利用导数研究函数的单调性
一、学习目标:
:①函数单调性的充分条件:函数 f(x)在(a,b)内可导,
若 f′(x)>0 则 f(x)为增函数;f′(x)<0 则 f(x)为减函数.②函数单调性的必要条件:函数 f(x)
在(a,b)内可导,若 f(x)为增函数,则 f′(x)≥0;若 f(x)为减函数,则 f′(x)≤0;
“函数单调区间”和“已知函数单调区间”的处理步骤或过程的异同。
二、基础回顾:
1
yx2ln 的单调递减区间为________.
x
1
答案(0, )
2
y=3x2-6ln x 的单调增区间为________,单调减区间为________.
答案(1,+∞) (0,1)
f(x)=ax3+3x2-x 恰有 3 个单调区间,则实数 a 的取值范围是________.
答案(-3,0)∪(0,+∞)
a>0,函数 f(x)=x3-ax 在[1,+∞)上是单调递增函数,则 a 的取值范围是________.
答案(-∞,3]
f(x)=x3+x2-ax-4 在区间(-1,1)内恰有一个极值点,则实数 a 的取值范围是
________.
答案[1,5)

三、典例精析:
例 1:已知 f(x)=ex-ax-1.
(1)求 f(x)的单调增区间;
(2)若 f(x)在定义域 R 内单调递增,求 a 的取值范围.
解(1)∵f(x)=ex-ax-1,∴f′(x)=ex-a.
令 f′(x)≥0,得 ex≥a,当 a≤0 时,有 f′(x)>0 在 R 上恒成立;当 a>0 时,有 x≥ln a.
综上,当 a≤0 时,f(x)的单调增区间为(-∞,+∞);当 a>0 时,f(x)的单调增区间为[ln a,
+∞).
(2)∵f(x)=ex-ax-1,∴f′(x)=ex-a.
∵f(x)在 R 上单调递增,∴f′(x)=ex-a≥0 恒成立,即 a≤ex,x∈R 恒成立.
∵x∈R 时,ex∈(0,+∞),∴a≤ a=0 时,f′(x)=ex,f′(x)>0 在 R 上恒成立.
故当 a≤0 时,f(x)在定义域 R 内单调递增.

1
1 a
借题发挥 1:已知函数 f( x ) ln x  ax  1( a  R ).
x
(1) 当 a=-1 时,求 y=f(x)在点(2,f(2))处的切线方程;
1
(2) 当 a≤时,讨论函数 y=f(x)的单调性。
2

例 2:(2014 江苏高考)已知函数 f (x)  e x  ex ,其中 e 是自然对数的底数.
(1) 证明: f (x) 是 R 上的偶函数;
(2) 若关于 x 的不等式 mf(x) ≤ ex  m 1在(0,) 上恒成立,求实数 m 的取值范围;
3
(3) 已知正数 a 满足:存在 x0 [1,) ,使得 f (x0 )  a(x0  3x0 ) 成立.
试比较 e a1 与 a e1 的大小,并证明你的结论