文档介绍：第二讲二次函数在导数中的应用
1.(2011·辽宁)已知函数f(x)=ex-2x+a有零点,则a的取值范围是______.
解析函数f(x)=ex-2x+a有零点,即方程ex-2x+a=0有实根,即函数g(x)=2x-ex,y=a有交点,而g′(x)=2-ex,易知函数g(x)=2x-ex在(-∞,ln 2)上递增,在(ln 2,+∞)上递减,因而g(x)=2x-ex的值域为(-∞,2ln 2-2],所以要使函数g(x)=2x-ex,y=a有交点,只需a≤2ln 2-2即可.
变式:已知函数f(x)=mx2+ln x-2x在定义域内是增函数,则实数m的取值范围为______.
解析 f′(x)=mx+-2≥0对一切x>0恒成立,
m≥-()2+,令g(x)=-()2+,则当=1时,
函数g(x)取得最大值1,故m≥1.
(x)=x2-2ax+a在区间(-∞,1)上有最小值,则函数g(x)=在区间(1,+∞)上是________函数.(填“增”或“减”)
解析由函数f(x)=x2-2ax+a在区间(-∞,1)上有最小值,可得a的取值范围为a<1,∴g(x)==x+-2a,则g′(x)=1-.易知在x∈(1,+∞)上g′(x)>0,所以g(x)为增函数.
(x)=ax3+ln x存在垂直于y轴的切线,则实数a的取值范围是___________.
解析 f′(x)=3ax2+(x>0),若函数存在垂直于y轴的切线,即3ax2+=0有解,a=-,
∵x>0,∴-<0,∴a<0.
(x)=2mcos2+1的导函数的最大值等于1,则实数m的值为________.
解析显然m≠0,所以f(x)=2mcos2+1=m(2cos2-1)+m+1=mcos x+m+1,
因此f′(x)=-msin x,其最大值为1,故有m=±1.
一、求参数范围
例1 设函数f(x)=ln x-px+1.
(1)求函数f(x)的极值点;
(2)当p>0时,若对任意的x>0,恒有f(x)≤0,求p的取值范围.
解(1)∵f(x)=ln x-px+1,∴f(x)的定义域为(0,+∞),f′(x)=-p=,
当p≤0时,f′(x)>0,f(x)在(0,+∞)上无极值点;
当p>0时,令f′(x)=0,∴x=∈(0,+∞),
f′(x)、f(x)随x的变化情况如下表:
x
(0,)
(,+∞)
f′(x)
+
0
-
f(x)
单调递增
极大值
单调递减
从上表可以看出,当p>0时,f(x)有唯一的极大值点x=.
(2)当p>0时,f(x)在x=处取得极大值f()=ln,(x)≤0恒成立,只需f()=ln≤0,∴p≥1,∴p的取值范围是[1,+∞).
变式训练1 (2010·全国)设函数f(x)=x(ex-1)-ax2.
(1)若a=,求f(x)的单调区间;
(2)若当x≥0时,f(x)≥0,求a的取值范围.
解(1)a=时,f(x)=x(ex-1)-x2,
f′(x)=ex-1+xex-x=(ex-1)(x+1).
当x∈(-∞,-1)时,f′(x)>0;当x∈(-1,0)时,f′(x)<0;当x∈(0,+∞)时,f′(x)>0.
故f(x)在(-∞,