文档介绍：导数第2讲导数在研究函数中的应用
【知识要点】:
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(1)一般地,设函数函数在某个区间内可导,①若,则为严格增函数;②若,则为严格减函数.③如果在某个区间内恒有则为常数函数.
(2)求可导函数单调区间的一般步骤和方法:①确定函数的定义域区间M;②求,解方程在M内的所有实根;③结合②中的实根和函数的定义域M分成若干个小区间由小到大排列;④由的符号来判断函数在各个相应小区间内的增减性.
(3)已知函数的单调性,如何求参数的取值范围:(或)是函数递增(或递减)的充分条件,,已知函数是增函数(或减函数)时,先令(或)解出相关参数的取值范围后,后取其临界值检验函数的增减性,最终决定参数的取值范围.
(极值是一个局部性概念)
(1)判断是极值的方法:一般地,当函数在点处连续时,
①如果在附近的左侧,右侧,那么是极大值;
②如果在附近的左侧,右侧,那么是极小值.
(2)求可导函数极值的步骤: ①求; ②求方程的根;③检查在方程的根左右值的符号,根据(1)确定函数的极值.(注意不可导点,如例题解析中例题5)
(1)在闭区间[a,b]上连续的函数在[a,b]上必有最大值与最小值.
(2)若函数在[a,b]上单调递增,则为函数的最小值, 为函数的最大值;若函数在[a,b]上单调递减,则为函数的最大值, 为函数的最小值.
(3)设函数在[a,b]上连续,在(a,b)内可导,求在[a,b]上的最大值和最小值的步骤如下: ①求在(a,b)内的所有极值; ②将的各极值与比较,其中最大的一个是最大值,最小的一个是最小值.
一般多为叫复杂的不等式,常见的形式为:证明,一般令(注意定义域),然后利用导数来研究新构建的函数,从而证明即可.
解决优化问题的基本思路是:
【方法与技巧】
,尤其对于已知单调性求参数值(范围)时,隐含恒成立思想.
、最值时,要求步骤规范、表格齐全,含参数时,要讨论参数的大小.
,如果函数在区间内只有一个极值点,那么只要根据实际意义判定最大值还是最小值即可,不必再与端点的函数值比较.
◆例题解析
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(1); (2); (3).
,且和是的两个根,求:
(1)a,b的值; (2)的单调区间.
,求实数a的取值范围.
.
.
.
x
O
y
A
B
C
D
,另两个顶点位于抛物线在x轴上方的曲线上,求这个矩形面积最大时的边长.
导数第2讲导数在研究函数中的应用练习题
=x3-3x的单调递减区间是( )
A.(-∞,0) B.(0,+∞) C.(-1,1) D.(-∞,-1),(1,+∞)
=x3+ax-2在区间(1,+∞)上是增函数,则实数a的取值范围是( )
A.[3,+∞) B.[-3,+∞) C.(-3,+∞) D.(-∞,-3)
(a,b),导函数f′(x)在(a,b)内的图象如