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第二型曲线积分与曲面积分的计算方法
摘要：本文主要利用化为参数的定积分法，格林公式，积分与路径无关的方法解答第二型曲线积分的题目；以及利用曲面积分的联系，分面投影法，合一投影法，高斯公式解答第二型曲面积分
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第二型曲线积分与曲面积分的计算方法
摘要：本文主要利用化为参数的定积分法，格林公式，积分与路径无关的方法解答第二型曲线积分的题目；以及利用曲面积分的联系，分面投影法，合一投影法，高斯公式解答第二型曲面积分的题目.
关键词：曲面积分；曲线积分

1 引言
第二型曲线积分与曲面积分是数学分析中的重要知识章节，，，并结合具体实例以及教材总结出其特点，.
2 第二型曲线积分
例1 求，其中a，b为正的常数，L为从点A〔2a，0〕沿曲线y=到点〔0，0〕的弧.
方法一：利用格林公式法
，P(x，y)，Q〔x，y〕以及它们的一阶偏导数在D 上连续，L是域D的边界曲线，L是按正向取定的.
解：添加从点〔0，0〕沿y=0到点A〔2a,0〕的有向直线段,
记为，
则由格林公式得：

其中D为所围成的半圆域，直接计算,因为在时，，所以=0
1
因而：，从而
方法二：应用积分与路径无关化为参数的定积分法求解
假设〔与路径无关的条件〕，则

〔2〕

是起点是终点
解：
记为 ,

对于，积分与路径无关，所以
对于，取L的参数方程，t从0到，得
从而
对于空间第二曲线一般的解题过程为：
假设L闭合，P,Q,R对各元偏导数连续
2

假设L非闭，其参数方程为
其中：，分别为L的起点，终点参数值.
例2 计算空间曲线积分I=，其中曲线L为圆柱面与平面的交线，从X轴正向看，曲线是逆时针方向.
方法一：化为参数的定积分计算，对于这种封闭的曲线要充分利用上三角函数的正交性.
解：令，则

于是I=
方法二：解：

3 第二型曲面积分
3
例3 计算曲面积分，其中为旋转抛物面介于平面z=0及z=1之间的部分的下侧.
方法一：利用两类曲面积分的联系

其中是有向曲面上点〔x，y，z〕处的法向量的方向余弦.
解：，