文档介绍：红河学院XXXX—XXXX学年秋季学期
《数学分析III》
期末考试卷3参考答案及评分标准

一、填空题（每小题3分，共30分）
1、 2、 3、
4、 5、 6、 7、
红河学院XXXX—XXXX学年秋季学期
《数学分析III》
期末考试卷3参考答案及评分标准

一、填空题（每小题3分，共30分）
1、 2、 3、
4、 5、 6、 7、
8、 9、 10、
二、判断题（在正确的命题后的括号内打“○”，错误的命题后的括号内打“×”每小题2分，共10分）
题号
1
2
3
4
5
答案
×
×
○
○
×
三、计算题（每小题10分，共60分）
1、讨论函数在原点处的连续性，计算和.
解首先考虑，引入变换
，， ………………（2分）
则等价于对任意，. 因此，
. ………………（5分）
由此可见，，所以该函数在连续. …（6分）
由偏导数的定义，
………………（8分）
………………（10分）
2、设，求和.
解记，，，，
则由复合函数链式法则，
. …………………（3分）
再记，，，……
…………………（5分）
……………（7分）
…………………（9分）
…………………（10分）
3、制作一个无盖的长方形水箱，已知底部的造价为每平方米30元，侧面造价为每平方米10元，现用360元制作水箱，问如何设计水箱才能使其体积最大.
解设水箱的长、宽、高分别为，，米，则该问题为求水箱体积在限制条件
（即）
的最大值. …………………（3分）
构造Lagrange函数. …（5分）
下面求的稳定点，由方程组
得，………（8分）
由实际问题可知，存在使体积达到最大的制作方式，又由稳定点是唯一的，故该稳定点必是所求的最大值点，即用360元制作的最大体积水箱的长、宽、高分别为2、2、3米，最大体积为12立方米. ………（10分）
4、计算第二型曲线积分其中，是螺旋线：，，从到的一段.
解由第二型曲线积分的计算公式，