文档介绍：§1 矩阵的满秩分解定理:设,那么存在第四章矩阵的分解这章我们主要讨论矩阵的五种分解:矩阵的满秩分解,正交三角分解,奇异值分解,极分解,谱分解。 m n r A C ??, m r r n r r B C C C ? ?? ? R(A)=r 列满秩使得证明:假设矩阵的前个列向量是线性无关的,对矩阵只实施行初等变换可以将其化成 A BC ?其中为列满秩矩阵, 为行满秩矩阵。我们成此分解为矩阵的满秩分解。 C BA rA 0 0 r I D ? ?? ?? ?即存在使得 m m m P C ???? 10 rrI A P I D BC ?? ?? ?? ?? ? 0 0 r I D PA ? ??? ?? ?于是有其中?? 1,0 m r r n r r r r I B P C C I D C ? ??? ?? ???? ?? ??? 10 rrI A P I D BC ?? ?? ?? ?? ?注:??[ ] r A B I D B BD ? ? B A r 为的前列如果的前列线性相关,那么只需对作列变换使得前个列是线性无关的。然后重复上面的过程即可。这样存在 Ar A r, m m n n m n P C Q C ? ?? ?且满足 0 0 r I D PAQ ? ??? ?? ?从而?? 1 1 1 1 0 0 0 rrr I D A P Q I P I D Q BC ? ?? ?? ?? ?? ?? ?? ?? ?? ??其中?? 11,0 m r rr r n r r I B P C C I D Q C ????? ?? ?? ?? ?? ??????? 1 1 ? ?? ?? r A B I D Q B D Q AQ B D 所以 B是A中 r 个线性无关的列 1 2 1 0 1 2 1 2 2 1 3 3 (1) 2 4 3 1 4 5 4 8 6 2 8 10 0 0 1 2 3 (2) 0 0 2 4 6 ? ?? ?? ?? ?? ?? ?? ?? ?? ?例:分别求下面三个矩阵的满秩分解 0 1 0 1 1 (3) 0 2 0 1 1 0 3 0 2 2 ?? ?? ??? ??? ?? ?解:( 1)对此矩阵只实施行变换可以得到 4 3 3 1 2 2 1 1 2 1 0 1 2 1 2 2 1 3 3 (1) 2 4 3 1 4 5 4 8 6 2 8 10 1 2 1 0 1 2 0 0 1 1 2 1 ( ) 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 ? ?? ?? ?? ?? ?? ?? ??? ??