文档介绍：相似矩阵
第二节
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一、相似矩阵的概念和性质
定义
对于n阶方阵A和B，若存在n阶可逆方阵P，使得
则称A与B 相似,记为
矩阵的“相似”关系具有以下特性：
(1)反身性：
(2)对称性：
证
(相似矩阵
第二节
1
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一、相似矩阵的概念和性质
定义
对于n阶方阵A和B，若存在n阶可逆方阵P，使得
则称A与B 相似,记为
矩阵的“相似”关系具有以下特性：
(1)反身性：
(2)对称性：
证
(3)传递性：
证
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相似矩阵的性质：
定理
相似矩阵有相同的特征多项式,从而特征值相同.
证
推论1 相似矩阵的行列式相等；
推论2 相似矩阵的迹相等；
推论3 若矩阵A与一个对角阵
相似,
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注意:
特征值相同的矩阵不一定相似.
但它们不相似,
因为对任意可逆阵P,
即与 E 相似的矩阵只有它自己。
相似矩阵的其它性质：
相似矩阵的秩相等；
若P,Q为可逆矩阵,则有
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A ,B 同为可逆或不可逆,可逆时它们的逆矩阵及伴随矩阵也分别相似。
只证(3)，其余证明留作练****br/>(1)
(2)
(3)
(4)
(5)
(6)
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例1
解
另解
相似矩阵有相同的特征多项式，由
得
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计算上面两个行列式，得到
比较等式两边 同次幂的系数，得
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n阶矩阵A与一个对角阵相似的充分必要条件是A有n个线性无关的特征向量。
二、矩阵可相似对角化的条件
定理
如果一个矩阵能与一个对角阵相似,称该矩阵可以(相似)对角化。
证
必要性：
设A与一个对角阵相似,即存在一个可逆
阵P,使
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即
即
即得
必要性得证。
上述步骤倒过来写,即得充分性证明。
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推论1 如果矩阵A的特征值互不相同,则A必可对角化.
因为属于不同特征值的特征向量是线性无关的.
注意: 这个条件是充分的而不是必要的.
如果A的特征方程有重根，此时不一定有n个线性无关的特征向量，从而矩阵A不一定能对角化；但如果能找到n个线性无关的特征向量, A还是能对角化．
即齐次线性方程组 的基础解系所含的向量个数等于特征根 的重数 。
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解
例2
设
求可逆阵P，
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特征向量
特征向量
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特征向量
特征向量
特征向量
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令
则
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解
例3
判断矩阵
能否对角化，若能，
特征向量
求可逆阵P，
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特征向量
可对角化,
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解
只有一个线性无关的特征向量,
例4
判断矩阵
能否对角化，若能，
所以不能对角化.
求可逆阵P，
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例5
解
得A的特征值为
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例6
解
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从而A可相似对角化.
秩为1，
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从而A不可相似对角化.
秩为2，
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一般来说，求矩阵的高次幂比较困难，但若矩阵A能对角化，即存在可逆阵P，使得
则
于是
转化为对角阵求幂.
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例7
解
设
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END
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