文档介绍：
教学内容:
教学目的
1、掌握用几何法绘制正弦函数y = sinx,xcR的图象的方法；掌握用五点法画正弦函数的简图的方法及意义；
2、掌握正弦函数y = sinx,xeR的性质及应用；
3、T 不是 f(2x)的周期，而应写成 f(2x + T)= 2 = f( 2x ),则2
是f(2x)的周期。
对于周期函数来说，如果所有的周期中存在着一个最小的正数，就称它为最小正周期，今后提到的三角函数的周期，如未特别指明，一般都是指它的最小正周期。
，常数函数f(x) = C(C为常数), x 6R，当x为定义域内的任何值时，函数值都是C，即对于函数f(x)的定义域内的每一个值x ,都有f(x + T) = C，因此f(x)是周期函数，由于T可以是任意不为零的常数，而正数集合中没有最小者，所以f(x)没有最小正周期。
~、[1(》是有理数)
再如函数【0(》是无理数)
设r是任意一个有理数，那么当x是有理数时，x + r也是有理数，当x为无理数时，x + r也是无理数，就是说D(x)与D(x + r)或者等于1或者等于O ,因此在两种情况下，都有D(x + r) = D(x),所以D(x)是周期函数，r是D(x)的周期，由于r 可以是任一有理数，而正有理数集合中没有最小者，所以D(x)没有最小正周期。
“f(x + T) = f(x) ”是定义域内的恒等式，即对定义域内的每一个值都成立，T 是非零常数，周期T是使函数值重复出现的自变量x的增加值。
周期函数的周期不只一个，若T是周期，则kT(k£N*)一定也是周期。
在周期函数y =f (x)中，T是周期，若x是定义域内的一个值，则x + kT也一定属于定义域，因此周期函数的定义域一定是无限集。
6、正弦函数的周期性 _
从正弦线的变化规律可以看出，正弦函数是周期函数，2k兀(kcZ且k/0)是它的周期，最小正周期是2”。
正弦函数的周期也可由诱导公式sin(x + 2kJt) = sinx(k6Z)得到。
7、正弦函数的奇偶性
正弦函数y = sinx ( xER )是奇函数。
由诱导公式sin ( —x ) =—sinx可知上述结论成立，
反映在图象上，正弦曲线关于原点O对称；
正弦曲线是中心对称图形，其所有的对称中心为(kn,0 )。正弦曲线也是轴对
x = kit + —, x g Z
称图形，其所有的对称轴方程为 2 。
注意：正弦曲线的对称轴一定是经过正弦曲线的最高点或最低点，此时正弦值为最大值或最小值。
8、正弦函数的单调性
71 71
由正弦曲线可以看出：当x由 5增大到5时，曲线逐渐上升，sinx由一1增大到1；
71 3
— —兀
当X由2增大到2 时，曲线逐渐下降，sinx由1减小到一1。
由正弦函数的周期性知道：
—生+ 2k 兀,—+ 2k7T
正弦函数＞ = sinx在每一个闭区间】2 2 ](ReZ)上都从一1增
— + 2k/r, — + 2k/r
大到1,是增函数；在每一个闭区间[2 ' 2 ](kcZ)上，都从1减小到
71 _ T 71 - 7
P 2k7t, —F 2k7t
-1,是减函数。也就是说正弦函数＞ = sinx的单调区间是：[2 2 ]及
71 - T 3 兀 7
—F 2km F 2kju
:2 2 ] ("Z)
9、函数图象的左右平移变换
. / 71、 . / 71、
y = sin(x + —) y = sin(x )
如在同一坐标系下，作出函数 3和- 4的简图，并指出它们
与y = sinx图象之间的关系。
• / 7T y = sin(x H——)
解析：函数’ 3的周期为2勿，我们来作这个函数在长度为一个周期的闭区
7T x-\——= 设 3
Z
7T
sin(x H——)=sinZ
那么 3 ,
X
当Z取0、
7V
、 2
3
兀、—7T\ 27T —
2 时，x取
7T
3
间上的简图。
z、
3
71 2〃 7 兀 5〃
6 3 6 3 o所对应的五点
. / 7T
y = sin(x H——)
是函数 3 ,
列表：
r 71 5兀、
x ,—]
3 3图象上起关键作用的点。
X
71
71
~6
T
In
~6
5兀
T
71 x-\—— 3
0
7T
~2
3兀
~2
2万
sin(% + y)
0
1
0
-1
0
y = sin(x-—)
类似地，对于函数- 4 ,可列出下表:
X
兀