文档介绍：一元三次方程与一元四次方程的根 一元三次方程的根一元二次方程的求根公式是众所周知的, 下面我们给出一元三次与一元四次方程的求根公式. 设一元三次方程 0 23????cby ay y (立方和展开公式: ) 令3 axy??,得0 3???qpx x ( 5-1 ) 所以,所有一元三次方程均可化为无二次项的方程. 设0x 是方程( 5-1 )的根,即 0 0 30???qpx x 现在讨论方程 03 0 2??? puxu 设它的两个根?与?,则 3 · 0p x????????( 5-2 )0) )(3( 0)()( 33 3???????????qp qp??????????( 5-3 ) 由于03??p ??,所以 27 333 33p q?????????所以 33??与是一元二次方程 027 32??? pqzz 的两个根. 解此方程得 27 42 32pqqz???? 3 32 3 3227 42 27 42pqq pqq??????????即3 32 3 32 027 4227 42 pqqpqqx????????????这样, 我们就把方程的根x 0 求出来了. 这个公式称为卡丹公式. 但是由于上式开了3 次方, 共有 3 个值, 因而???共有 9 个值,这9 个值不可能都是方程( 5-1 ) 的根, 对于取定的?, 只能取?,使得 ·???设 p?是 3 3227 42 pqq??? 3 个开方值中的一个, ?是1 32 13 2 sin 3 2 cos ii????????= 而3 111p?????是适合的值如果 11???是方程( 5-1 )的根,则方程( 5-1 )的另外两个根为???????? 1 21 211??现在讨论(1 )当27 4 32pqD??如D >0, 则D 是实数,实数 D q??2 的立方根有一个实数,两个共轭复数. 设1?是32 D q??中的实数, 1?是32 D q??中的实数. 则111????r 是方程( 5-1 )的实数根( 因为3 11p????是实数), 其余两个根分别为?????????)2 32 1()2 32 1( 11112??????ir 2 32 2 32 11113 1111?????????????????ir i 这里显然有 11???,所以三次方程有一个实根和两个共轭复数根. (2 )当027 4 32??? pqD 时, 332 ,2 qq??????设312 q???为实数值,由于 3 · q????知, 1?=32 q?也为实数值,所以根为 11112??????r 另外两个根为 1 211 213 1 21 2112)( )(????????????????????????????r r 所以三个根都是实数,且有两个根相同. (3)当D qD qD?????22 ,,·?为实数, 所以 332 ,2 D qD q????????由于实系数三次方程必有一个根是实数,设 1101??????x ( 复数的开方:设 z=r (cos θ+ isin θ) ,其中 r>0 ,则 z的n 次方根有 n 个,它们是: ) 是实数根, 因为 11???为实数根 3 11p????也是实数, 所以 1