文档介绍：2017-2-21 1 P44 习题 : 2. 4. 8. P54 习题 : 8. 9. 复习: P37 —53 预习: P54 —60 作业 2017-2-21 2第五讲函数可积性一、定积分的概念二、可积性条件与可积类 2017-2-21 3一、定积分的概念黎曼积分定义: ??, max ,)(: ],,[; ),,1(],[ : ],[, ],[,],[:1 1 1 1 1 1 10 knk nk kk kkk kkk kk n kkx xf xx xxx nkxxk bxxxxxa ba baRbaf????????????????????????????记构造和式任取长度为的个小区间记第中插入一组分点即在作任意划分对区间设函数??? 2017-2-21 4 .],[)( ];,[,],[ ,)( lim 1 0 上的定积分在称此极限值为并且记上可积在称则存在如果和式极限 baxf baRfbaf xf nk kk??????? k nk k baxf dx xf?????????)( lim )( 1 0记作: 积分上限积分下限],[ba称为积分区间定积分是 :积分和式的极限 2017-2-21 5 ?? ba dx xfA)(?? ba dttvs)( [例如] 曲边梯形的面积变速直线运动的路程”定义: 定积分的“?????就有只要的任意取法及点的任意划分使得对, max , ],[,0,0 1?????????????? ini kx ba???????? nk kkIxf 1)(.],[)( 上的定积分在是则称 baxfI 2017-2-21 6 上不可积在为无理数为有理数函数证明例]1,0[ 0 1)( ]1[????x xxD Dirichlet [证] ?? nk kx 0]1,0[ ?的一个划分任给),,1(],[ 1nk xx kkk????是有理数任取?),,1(],[ 1nk xx kkk????是无理数另取? 1 )( 1 1??????? nk k nk kkxxD???0)( 1???? nk kkxD?? 1)( lim 1 0????? nk kkxD???0)( lim 1 0????? nk kkxD???上不可积函数在故]1,0[ Dirichlet 2017-2-21 7 ? 10]2[ dx e x 计算定积分例[解] n xn k1,]1,0[??得等分将)1,,2,1,0(???n kn k k??取????? 101 nk nn eS n k 构造和式)1( 1 1nen e??????? 101 nk n ken)1( 1 lim 1 10 nen e dx e n x???????问这个做法对不对 1??e 关键定积分的存在性 2017-2-21 8定积分作为黎曼和式的极限,其构造十分复杂,因此想计算这个和式的极限来研究定积分,实际上是不可行的. 另一途径是先研究其存在性, 首先是简化和式结构,把“两个任意”(任分任取)简化为“一个任意”(任分) 这就是达布上和与下和的来由。三、可积性条件与可积类 2017-2-21 9 ab x yo )(xfy?(一)可积条件 2017-2-21 10 定义: (达布上和与下和) ??????: ,,2,1,)( )( ,],[ ,],[)( ],[ ],[ 0 1 1 则称和式记的一个划分是上有界函数是设n kxf Inf m xf Sup M ba xT baxf kk kk xxx k xxx k nk k????????????? nk kkxM TfS 1),(???? nk kkxm Tfs 1),(?达布上和(大和) 达布下和(小和) [注意 1] 上和、下和是被划分唯一确定的这是上和、下和与积分和的主要区别