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第一章
1误差
相对误差和绝对误差得概念
例题：
当用数值计算方法求解一个实际的物理运动过程时,一般要经历哪几个阶
段？在哪些阶段将有哪些误差产生？ 答：实际问L3(X)= f0 10(X) fl li(x) f2 12(X) f3 13(X)
可得： L3(x) =x2(x—1 2)
L3(x) = x(x -1 2) (Ax B)
1
由L3(-1)=-, L3⑴=2 ,定A, B (称Z为了待定系数法) 口
(x)=x2,求f (x)在区间［0,1］上的分段线性插值函数fh(x),并估计误差, 取等距节点,且h=1/10.
解 f(x)=x2 , xi =ih , i=0,1,…,10 , h=%0
设 xi 4x <xi书,贝U:
fh(x)
x -为了 1 x「xi
= f(、i) f(xi° ~~x
一 h h
(2i 1) i(i 1)
= x
10 1 00
误差估计:
|f(x)
项(x)|电项iimax
x—ih)(x_(i +1)h).
第三章
最正确一致逼近：(了解)
最正确平■方逼近
主要分两种情形：
连续意义下
在空间L2[a,b]中讨论
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在n维欧氏空间Rn中讨论,只要求提供f的样本值
设 L2[a,b]的 n+1维子空间 Pn =span {1, x, x2…,xn},
其中1,x,x2…,xn是L2[a,b]的线性无关多项式系.
对Vf w L2[a,b],设其最正确逼近多项式©*可表示为了：.=Z a, x1 i=0
由(f - ,)= 0, - Pn
-■ (f - ？ a*xi ,xj) = 0, j =0(1)n
i =0
即 Z(xi,xj)a*^ =(f,xi), i = 0(1)n (*2)
j=0
其中
b b b
i j i j i ,,j i i
(x , x ) = x x dx = x dx, (f, x ) = f (x) x dx
a a a
称(*2)式为了最正确逼近多项式的法方程组(或正规方程组) .
由{xi}^=0的线性无关性,可证明G正定,即
上述法方程组的解存在且唯一.
11、求f(x)=cosS , x^[0,1]的一次和二次最正确平■方逼近多项式.
解： 设 P1*(x) =a0+a1x , P2*(x) = b0 +b1x+ b2x2
分别为了f(x)的一次、二次最正确平■方逼近多项式.
1
内积 (f,g)=」0f(x) g(x)dx
计算如下内积：
(1,1) =1 , (1, x) = 12 , (1, x2) = 13
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(x, x) = 13 , (x, x2) = 14 ,
(1, f) =0 , (x, f)
,(x2, f) = -2二 2
建立法方程组:
a.
12
24
a〔
* 12 24
于是 R (x^ — - —x
Jl JI
b° (12)5 %
3
1, 1 , 1,
b° b〔 b2
3 4 5
解得:
b0
12
2二2
=0
二2
24 b1 =
丁是:
12 24
P2(x^ — - — x .
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第四章
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1为了什么要进行数值积分
?常用哪些公式,方法？
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答：梯形复化求积公式和 simpson复化求积公式.
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2:方法好坏的判断：代数精度
误差分析
代数精度的概念
定义 假设求积公式fbf (x)d^S wi f (xi) (*)对所有次数Mm的多项式
a
i=0
是精确的,但对m+1次多项式不精确,那么称(*)具有m次代数