文档介绍：度量空间完备化) ( ) 子空间,简记为( )的一个)就是( ),此时我们认为( ( )可以嵌入( )是等距同构的,则称子空间( )的)与另一个度量空间( 如果度量空间( 2211 22 11 22 11 20 22 11,, ,,, , , , ,?????????XX X X X X X X X?基本概念:等距同构、稠密子集、完备化空间中稠密在知定理,由上的多项式全体记为: 例],[],[ ],[],[ s Weierstras baP ba 1 1 1 1 1 , , , X X X X X X X X ? ?? ???命题:若()是一个以()为子空间的完备度量空间,并且在中稠密,则是的完备化空间)的一个子空间)是( 从而( ) , ( ) , ( ) , ( ) , ( 从而, ) , ( 使得由于是等距的下证作映射) , ( 使得所以当) , ( ) , ( )为子空间,由)以( 若存在( , ) , ( 使得证:由稠密, 2211 2 2 1 1 1 21 2 1 2 22 1,, '' lim lim 0,, ' ,:.0',' ),(0 ,, 0,,?????????????????????????XX yxyx yXyX T T XXT xX mnxxxx XX xXxXnnn nnn n n n mnmn n n??????????????????????????. 一个完备化空间:每一个度量空间都有定理 1 1 1 1 , . (1) lim ( , ) 0 { },{ } { } { } lim ( , ) n n n n n n n n n n X X x y x y X X X x y x y ??? ? ???????????? ? ???证:设()是一个度量空间,分三步证明它有一个完备化空间将中的基本列分类,凡是满足的两个基本列称为等价的,彼此等价的基本列归于同一类且只归一类, 称为等价类,将一个等价类看成一个元素,且用表示一切等价类组成的集合,在上定义距离: ,,任取,,令(,) 则右端极 11 1 1 ( , )} { },{ } 1 2 , , , 3 { } { } { } , n n n n n n n n n n n n n x y x y x y x z z y x y z X ???? ??? ???? ?限存在({是上的基本列)且极限值与的选取无关下面验证满足