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拓展材料三：导数及其应用（详细答案）
（一）本单元在高考中的地位和作用
导数是研究函数的有力工具，是对学生进行理性思维训练的良好素
材。导数在处理单调性、最值等问题时 , 能降低思维难度 , 简化解题过程 .
x 2 和 x 1 为 f x 的极值点．
（Ⅰ）求 a 和 b 的值；（Ⅱ）讨论 f x 的单调性；
（Ⅲ）设 g x ( ) 2
x 3 x ，试比较 f x 与 g x 的大小．
3
3. 已知函数 f x ( ) 1
ax
3
bx
2
x 3 , 其中 a 0 .
3
(1) 当 a, 满足什么条件时 , f (x ) 取得极值 ?
(2) 已知 a 0 , 且 f ( x ) 在区间 (0,1] 上单调递增 , 试用a 表示出 b 的取值
范围 .
4. 设函数
f
(
x )
x
2
a
ln(
1
x
)
有两个极值点
x 1、
x 2
，且
x 1
x
2
k 的取值范
（I ）求a 的取值范围，并讨论
f
x 的单调性；
（II ）证明：
f
x
2
1
2
In
2
.
4
5. 已知函数
f
(
x
)
x
，
g
(
x
)
ln(
1
x
)
，
h
(
x
)
1
x
x
.
（1）证明：当
x
0
时，恒有
f
(
x
)
g
(
x
);
（2）当
x
0
时，不等式
g
(
x
)
k
kx
x
(
k
0
)
恒成立，求实数
围;
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拓展材料三：导数及其应用参考答案
1. 解：
1
0 f x dx 1
0 ax 2 c 1 ax 3 cx | 1
0 a c ax 0 2 c x 0 3
3 3 3
x 1 2 2 x 1
：（Ⅰ）因为 f ( ) e (2 x x ) 3 ax 2 bx x e ( x 2) x (3 ax 2 ) b ，又 x 2 和
6 a 2 b 0，
x 1 为 f x ( ) 的极值点，所以 f ( 2) f (1) 0 ，因此解方程组得
3 3 a 2 b 0，
a
1
, b 1．
3
（Ⅱ）因为 a 1
，b 1，所以 f ( ) x x 2)(e
x 1
1)，令 f ( ) 0，解得 x 1 2，
3
x 2 0， x 3 1．因为当 x ( ， 2) (0 1)，时， f ( ) 0；当 x ( 2 0) (1， ) 时，
f ( ) 0．所以 f x 在 ( 2 0)，和 (1， ) 上是单调递增的；在 ( ， 2) 和 (0 1)，上是单调递减
的．
（Ⅲ）由（Ⅰ）可知 f x ( ) x
2
e x 1 1 x 3
x ，故
2
f x ( ) g x ( ) x
2
e
x 1
x
3
x
2
(e
x 1
x ，
3
令 h x ( ) e x 1
x ，则 h x ( ) e
x 1
1．令 h x ( ) 0，得 x 1，因为 x ，时， ( ) h x ≤0，
所以 h x 在 x ，上单调递减．故 x ，时， ( )≥ h (1) 0；因为 x 1，时，
h x ≥0，
所以 h x 在 x 1，上单调递增．故 x 1，时， h x ( )≥ h (1) 0．所以对任意
x ( ， )，恒有 h x ≥0，又 x ≥0，因此 f x ( ) g x ≥0，故对任意 x ( ， )，
恒有 f x ( )≥ g x ( )．
2 2
: (1) 由已知得 f '( ) ax 2 bx 1 ,令 f (' x ) 0 ,得 ax 2 bx 1 0 , f (x ) 要取得极值 ,
方程
ax
2
2
bx
1
0
必须有解 ,所以△
4 b
2
4 a
0
,即
b
2
a ,此时方程
ax
2
2 bx
1
0
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x 1
2
b