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★比例线段：在四条线段中，如果其中两条线段，S有最小值．
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解：(1)如图，易知A(0,1)，．
　　①AB为底边，则，
　　②AB为腰且MA=AB时，由题意可知．
　　∴，由对称性知．
③AB为腰且MB=AB时，由题意可知．
∴．　　由对称性知．
　　
(2)①假设存在这样的时刻t，使△OPQ与△BCP相似．如图所示，
　　∵，OQ=t，，由得，
　　即t2＋t－1=0或3t=2，解得．
　　又∵0≤t≤1，∴当时，△OPQ与△BCP相似．
　　
　　当时，面积S有最小值，最小值是．
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例5、正方形ABCD边长为4，M、N分别是BC、CD上的两个动点，当M点在BC上运动时，保持AM和MN垂直，
　　（1）证明：；
　　（2）设，梯形ABCN的面积为y，求y与x之间的函数关系式；当M点运动到什么位置时，四边形ABCN面积最大，并求出最大面积；
　　（3）当M点运动到什么位置时，求x的值．
（1）证明：在正方形ABCD中，，
　　，，．
　　在中，，，．
　（2）解：，
　　，，
　　，
　　当时，y取最大值，最大值为10．
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　　（3）解：，∴要使，必须有，
　　由（1）知，，∴当点M运动到BC的中点时，，此时．
★黄金分割
设一条线段AB的长度为a，C点在靠近B点的黄金分割点上，且AC为b
∴ ∴
∴ ∴ ∴
例6、已知点C是线段AB的黄金分割点，AC＝，且AC＞BC，求线段AB与BC的长。
解：设AB=x，∴BC=x-5√5+5，由AC/AB=BC/AC，
得x（x-5√5+5）=（5√5-5）²
x²-5√5x+5x+50√5-150=0
x=[（5√5-5）±5（5-√5）]/2
x1=10，x2=5√5-15(小于0舍去）。
∴AB=10，BC=15-5√5.
★相似三角形的性质
（1）相似三角形的对应角相等，对应边成比例．
（2）相似三角形的对应高的比、对应中线的比和对应角平分线的比都等于相似比．
（3）相似三角形的周长的比等于相似比．
（4）相似三角形的面积的比等于相似比的平方．
例7、如图，△ABC中，DE∥BC，BE和CD相交于点F，且S△EFC=3S△EFD．求S△ADE∶