文档介绍：第二章控制系统数学模型
数学模型:
描述系统各变量之间关系的数学表达式,叫做系统的数学模型。
本章主要内容:
系统和元件数学模型的建立
传递函数的概念
结构图建立及化简
信号流图的概念及流图总增益的计算
§2-1 数学模型
动态模型:描述系统动态过程的方程式称为动态模型。
如微分方程、偏微分方程、差分方程等。
静态模型:在静态条件下(即变量的各阶导数为零),描述
系统各变量之间关系的方程式,称为静态模型。
建立系统数学模型的途径:
理论推导法——通过系统本身机理(物理、化学规律)的分析
确定模型的结构和参数,从理论上推导出系
统的数学模型。
实验测试法——根据对系统的观察,通过测量所得到的大量输
入、输出数据,推断出被研究系统的数学模型。
数学模型
§2-2 系统微分方程式的建立
建立系统(或元件)微分方程式的一般步骤:
(1)确定输入变量和输出变量;
(2)根据物理或化学定律,列出系统(或元件)的原始方程式;
(3)找出原始方程式中中间变量与其它因素的关系式;
(4)消去中间变量, 得到输入输出关系方程式;
(5)若所求输入输出关系为非线性方程,则需进行线性化;
(6) 标准化。将输入项及各阶导数放到方程的右边,将输出项及各阶导数放到方程的左边,然后按降幂的顺序排列。
建模举例1 弹簧—质量—阻尼器系统
输入——f (t)
输出——y(t)
(1)列出原始方程式。根据牛顿第二定律,有
要求写出系统在外力f (t)作用下的运动方程式
阻尼器阻力
弹簧力
(2)消去中间变量
B——阻尼系数
f2 (t) = Ky(t)
K——弹性系数
代入上式并整理
——线性定常二阶微分方程式
建模举例2 R-L-C电路
ur(t)为输入电压,uc(t)为输出电压。
要求列出uc(t)与ur(t)的关系方程式。
(1)根据克希霍夫定律可写出原始方程式
(2)式中i是中间变量,它与输出uc(t)有如下关系
(3)消去中间变量i后,得输入输出微分方程式
或
式中 T1=L/R,T2=RC 为该电路的两个时间常数
建模举例3 电枢控制的直流电动机
电枢电压控制的直流电动机线路原理图和结构图如下:
(1)列写原始方程式。电枢回路方程式:
输入—电枢电压ua ,
输出—轴角位移q
或角速度w ,
扰动—负载转矩ML变化
式中 La——电枢回路总电感(亨);
Ra——电枢回路总电阻(欧);
Ke——电势系数(伏/弧度/秒);
w ——电动机角速度(弧度/秒);
ua——电枢电压(伏);
ia ——电枢电流(安)。
根据刚体旋转定律,写出运动方程式
式中 J——转动部分转动惯量(公斤·米­2) ;
ML——电动机轴上负载转矩(牛顿·米);
Md—电动机转矩(牛顿·米)。
(2)Md和ia是中间变量。由于电动机转矩与电枢电流和气隙磁通的乘积成正比,现在磁通恒定,所以有
Km—电动机转矩系数(牛顿·米/安)。
联立求解,整理后得
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若输出为电动机的转角q ,则有
——三阶线性定常微分方程
——机电时间常数,(秒);
—电动机电枢回路时间常数,一般比Tm小,(秒)。
或
建模举例4 磁场控制的直流电动机
设
电枢电流Ia=常数,
气隙磁通F(t)= Kf if (t),
激磁回路电感Lf为常值。
(1)激磁回路方程式
uf ——激磁电压(伏);
if ——激磁电流(安);
Rf ——激磁回路电阻(欧);
j —激磁绕组磁链(韦)。
(2)设电动机转矩Md是用来克服系统的惯性和负载的阻尼摩擦的,因此有
J ——转动部分转动惯量;
B —阻尼摩擦系数。
(3)消去中间变量j, Md ∵
∴
或
Tf—激磁回路时间常数(秒), ;
T Tm ——惯性和阻尼摩擦时间常数(秒), ;
Kd ——电动机传递系数, 。
建模举例5 热力系统
输入量为 j i ,
输出量为q 0 。
(1)按能量守恒定律可写出热流量平衡方程
j t ——供给水箱中水的热流量(瓦特);
j0 ——出水带走的热流量(瓦特);
jc ——进水带入的热流量(瓦特);
js —通过热绝缘耗散的热流量(瓦特)。
(2)找出中间变量
C ——水箱中水的热容量(焦耳/℃);
q 0 ——水箱中水的温度(℃)。
Q ——出水流量(公斤/秒);
Cp ——水的比热(焦耳/公斤·℃)。
R ——由水箱内壁通过热绝缘扩散到周围环境的等效热值(℃/瓦特)。
(3)将以上各式代入热平衡方程
或
T=RC为热时间常数(秒)。
——一阶非线性微分方程式
当出水流量Q一定,环境温度和进水温度q i也为常值时,系统为一阶线性定常微分方程