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文档介绍：第1章控制系统数学模型
本课程的任务是系统分析和系统设计。而不论是系统分析还是系统设计,本课程所研究的内容是基于系统的数学模型来进行的。因此,本章首先介绍控制系统的数学模型。
本章内容为:
1、状态空间表达式
2、由微分方程求出系统状态空间表达式
3、传递函数矩阵
4、离散系统的数学模型
5、线性变换
6、组合系统的数学描述
7、利用MATLAB进行模型之间的变换
状态空间表达式
状态、状态变量和状态空间
状态——动态系统的状态是一个可以确定该系统行为的信息集合。这些信息对于确定系统未来的行为是充分且必要的。
状态变量——确定系统状态的最小一组变量,如果知道这些变量在任意初始时刻的值以及的系统输入,便能够完整地确定系统在任意时刻的状态。(状态变量的选择可以不同)
≥
状态空间——以所选择的一组状态变量为坐标轴而构成的正交线性空间,称为状态空间。
例:如下图所示电路, 为输入量, 为输出量。
建立方程:
初始条件:
和可以表征该电路系统的行为,就是该系统的一组状态变量
状态空间表达式
前面电路的微分方程组可以改写如下,并且写成矩阵形式:
该方程描述了电路的状态变量和输入量之间的关系,称为该电路的状态方程,这是一个矩阵微分方程。
如果将电容上的电压作为电路的输出量,则该方程是联系输出量和状态变量关系的方程,称为该电路的输出方程或观测方程。这是一个矩阵代数方程。
系统的状态方程和输出方程一起,称为系统状态空间表达式,或称为系统动态方程,或称系统方程。
设:
则可以写成状态空间表达式:
推广到一般形式:
如果矩阵A, B, C, D中的所有元素都是实常数时,则称这样的系统为线性定常(LTI,即:Linear Time-Invariant)系统。
如果这些元素中有些是时间 t 的函数,则称系统为线性时变系统。
严格地说,一切物理系统都是非线性的。可以用下面的状态方程和输出方程表示。如果不显含 t,则称为非线性定常系统。
状态变量的选取
(1) 状态变量的选取可以视问题的性质和输入特性而定
(2)状态变量选取的非惟一性
(3)系统状态变量的数目是惟一的
在前面的例子中,如果重新选择状态变量
则其状态方程为
输出方程为:
状态空间表达式建立的举例
例1-1 建立右图所示机械系统的状态空间表达式(注:质量块 m 的重量已经和弹簧 k 的初始拉伸相抵消)
根据牛顿第二定律
即:
选择状态变量
则: