文档介绍：§ 方向导数与梯度及泰勒公式
方向导数与梯度
内容小结与作业
方向导数与梯度的性质及应用
黑塞矩阵与泰勒公式
当前1页，共42页，星期日。
第一页，共四十二页。
1向量，如果存在
，使得对于一切
，恒有
则称 d 为函数 f 在 x0 处的上升方向;
恒有
如果对于
则称 d 为函数 f 在 x0 处的下降方向.
当前15页，共42页，星期日。
第十五页，共四十二页。
　设 f (x) 在点 x0 处可微, u 是一个 n 维非
零向量，如果
个上升方向；
的一个下降方向．
则u 是f (x) 在点 x0 处的一
如果
则 u 是f (x) 在点 x0 处
定理说明:方向导数的符号决定函数的升降.
当前16页，共42页，星期日。
第十六页，共四十二页。
结论1
梯度方向是函数值上升最快的方向(最速上升方向),
负梯度方向是而函数值下降最快的方向(最速下降方向)
沿梯度方向,方向导数达到最大值
问题：函数值沿什么方向上升最快? 沿什么方向下降最快？
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第十七页，共四十二页。
若函数在点处取最大值，则函数沿任何
方向都不可能上升，
特别地
另一方面
因此
即函数在最大值点处的梯度为零向量；
同理可
得函数在最小值点处的梯度向量也为零向量.
结论2
函数在最大值点或最小值点处的梯度为零向量．
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第十八页，共四十二页。
设在处取最大（小）值，则
即
类似地，若三元函数在处取最
大（小）值，则
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第十九页，共四十二页。
例4.
设一座山的高度由函数给出, 如
果登山者在山坡的点处，此时登山者往何方
向攀登时坡度最陡？
解：
坡度最陡的方向为高度函数变化最快的方向，即
求使高度函数在点处的方向导数最大的方向 .
因
为梯度与的夹角,
所以
最大
即沿梯度方向函数上升最快.
又因
所以在点处沿向量方向攀登时坡度最陡.
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例5　求函数
在点 (2, 1) 处
函数值下降最快的方向．
　设 f (x) 是
上的连续函数，
d 是 n 维非零向量，如果
则d 是f (x) 在点 x0 处的一个上升方向；如果
则d 是f (x) 在点 x0 处的一个下降方向.
d 与f (x0) 成锐角
d 与f (x0) 成钝角
解：
所以函数在点处的最速下降方向为
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2. 梯度向量是二元函数等值线或三元函数等值面的法线方向向量
设 f (x) 是 n 元可微函数,
等值面
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第二十二页，共四十二页。
对于 n = 2 的情形:
是函数 f (x, y)过点(x0, y0)的等值线
在该点处, 它与等值线的切线垂直.
在点(x0, y0)处的一个法线方向向量.
等值线
n=2
结论:
与等值面在点x0 处的切平面垂直，所以
是等值面S在点x0 处的一个法线方向向量.
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对于 n = 3 的情形:
是函数 f (x, y,z) 的等值面
在点 ( x0, y0, z0 ) 处的一个
法线方向向量. 在该点处,
它与等值线的切平面垂直.
等值面
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第二十四页，共四十二页。
黑赛矩阵与泰勒公式
1. 黑赛矩阵
设 n 元函数 f (x) 在点 x 处对于自变量的各分量的二阶
连续，
偏导数
二阶导数
或黑塞矩阵
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例6.
解：
计算函数的梯度与黑