文档介绍：方向导数与梯度黑塞矩阵与泰勒公式详解演示文稿
第一页，共四十一页。
优选方向导数与梯度黑塞矩阵与泰勒公式
第二页，共四十一页。
方向导数与梯度
1. 方向导数的概念
偏导数反映的是多升最快的方向(最速上升方向),
负梯度方向是而函数值下降最快的方向(最速下降方向)
沿梯度方向,方向导数达到最大值
问题： 函数值沿什么方向上升最快? 沿什么方向下降最快？
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若函数 在点 处取最大值，则函数 沿任何
方向都不可能上升，于是由知
特别地
另一方面
因此
即函数在最大值点 处的梯度为零向量；
同理可
得函数在最小值点处的梯度向量也为零向量.
结论2
函数在最大值点或最小值点处的梯度为零向量．
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设 在 处取最大（小）值，则
即
类似地，若三元函数 在 处取最
大（小）值，则
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例4.
设一座山的高度由函数 给出, 如
果登山者在山坡的点 处，此时登山者往何方
向攀登时坡度最陡？
解：
坡度最陡的方向为高度函数变化最快的方向，即
求使高度函数在点 处的方向导数最大的方向 .
因
为梯度与 的夹角,
所以
最大
即沿梯度方向函数上升最快.
又因
所以在点 处沿向量 方向攀登时坡度最陡.
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例5 求函数
在点 (2, 1) 处
函数值下降最快的方向．
设 f (x) 是
上的连续函数，
d 是 n 维非零向量，如果
则d 是f (x) 在点 x0 处的一个上升方向；如果
则d 是f (x) 在点 x0 处的一个下降方向.
d 与f (x0) 成锐角
d 与f (x0) 成钝角
解：
所以函数在点 处的最速下降方向为
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2. 梯度向量是二元函数等值线或三元函数等值面的法线方向向量
设 f (x) 是 n 元可微函数,
等值面
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对于 n = 2 的情形:
是函数 f (x, y)过点(x0, y0)的等值线
在该点处, 它与等值线的切线垂直.
在点(x0, y0)处的一个法线方向向量.
等值线
n=2
结论:
与等值面在点x0 处的切平面垂直，所以
是等值面S在点x0 处的一个法线方向向量.
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对于 n = 3 的情形:
是函数 f (x, y,z) 的等值面
在点 ( x0, y0, z0 ) 处的一个
法线方向向量. 在该点处,
它与等值线的切平面垂直.
等值面
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黑赛矩阵与泰勒公式
1. 黑赛矩阵
设 n 元函数 f (x) 在点 x 处对于自变量的各分量的二阶
连续，
偏导数
二阶导数
或黑塞矩阵
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例6.
解：
计算函数 的梯度与黑塞
矩阵, 并求 以及
因
，则
又
则
所以
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例7.
解：
设 皆为 n 维行向量，b 为常数，求 n 维线性
函数 在任意点 x 处的梯度和黑塞矩阵.
设
，于是
因
所以
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当 时，二维线性函数
写成向量形式是
于是
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例8.
解：
设 Q 为 n 阶对称矩阵， 皆为n 维行向量，c 为
常数，求 n 维二次函数 在任意
点 处的梯度和黑塞矩阵.
设
则
于是
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又因
所以
第三十一页，共四十一页。
写出二维二次函数
的梯度和黑塞矩阵 .
第三十二页，共四十一页。
2. 泰