文档介绍：§ 方向导数与梯度及泰勒公式
方向导数与梯度
内容小结与作业
方向导数与梯度的性质及应用
黑塞矩阵与泰勒公式
第一页，共四十二页。
方向导数与梯度
1
结论1
梯度方向是函数值上升最快的方向(最速上升方向),
负梯度方向是而函数值下降最快的方向(最速下降方向)
沿梯度方向,方向导数达到最大值
问题： 函数值沿什么方向上升最快? 沿什么方向下降最快？
第十七页，共四十二页。
若函数 在点 处取最大值，则函数 沿任何
方向都不可能上升，于是由知
特别地
另一方面
因此
即函数在最大值点 处的梯度为零向量；
同理可
得函数在最小值点处的梯度向量也为零向量.
结论2
函数在最大值点或最小值点处的梯度为零向量．
第十八页，共四十二页。
设 在 处取最大（小）值，则
即
类似地，若三元函数 在 处取最
大（小）值，则
第十九页，共四十二页。
例4.
设一座山的高度由函数 给出, 如
果登山者在山坡的点 处，此时登山者往何方
向攀登时坡度最陡？
解：
坡度最陡的方向为高度函数变化最快的方向，即
求使高度函数在点 处的方向导数最大的方向 .
因
为梯度与 的夹角,
所以
最大
即沿梯度方向函数上升最快.
又因
所以在点 处沿向量 方向攀登时坡度最陡.
第二十页，共四十二页。
例5 求函数
在点 (2, 1) 处
函数值下降最快的方向．
设 f (x) 是
上的连续函数，
d 是 n 维非零向量，如果
则d 是f (x) 在点 x0 处的一个上升方向；如果
则d 是f (x) 在点 x0 处的一个下降方向.
d 与f (x0) 成锐角
d 与f (x0) 成钝角
解：
所以函数在点 处的最速下降方向为
第二十一页，共四十二页。
2. 梯度向量是二元函数等值线或三元函数等值面的法线方向向量
设 f (x) 是 n 元可微函数,
等值面
第二十二页，共四十二页。
对于 n = 2 的情形:
是函数 f (x, y)过点(x0, y0)的等值线
在该点处, 它与等值线的切线垂直.
在点(x0, y0)处的一个法线方向向量.
等值线
n=2
结论:
与等值面在点x0 处的切平面垂直，所以
是等值面S在点x0 处的一个法线方向向量.
第二十三页，共四十二页。
对于 n = 3 的情形:
是函数 f (x, y,z) 的等值面
在点 ( x0, y0, z0 ) 处的一个
法线方向向量. 在该点处,
它与等值线的切平面垂直.
等值面
第二十四页，共四十二页。
黑赛矩阵与泰勒公式
1. 黑赛矩阵
设 n 元函数 f (x) 在点 x 处对于自变量的各分量的二阶
连续，
偏导数
二阶导数
或黑塞矩阵
第二十五页，共四十二页。
例6.
解：
计算函数 的梯度与黑塞
矩阵, 并求 以及
因
，则
又
则
所以
第二十六页，共四十二页。
例7.
解：
设 皆为 n 维行向量，b 为常数，求 n 维线性
函数 在任意点 x 处的梯度和黑塞矩阵.
设
，于是
因
所以
第二十七页，共四十二页。
当 时，二维线性函数
写成向量形式是
于是
第二十八页，共四十二页。
例8.
解：
设 Q 为 n 阶对称矩阵， 皆为n 维行向量，c 为
常数，求 n 维二次函数 在任意
点 处的梯度和黑塞矩阵.
设
则
于是
第二十九页，共四十二页。
又因
所以
第三十页，共四十二页。
写出二维二次函数
的梯度和黑塞矩阵 .
第三十