文档介绍：复变函数总结
第一章复数的运算与复平面上的拓扑
复数的定义
一对有序实数（x,y）构成复数zxiy,其中xRez,,X称为复数的实部，y称为复数的虚部。复数的表示方法1）模
zx2y2：
2）幅角在zO时，矢量与x
注意若
ux，V，vx,y在区域D具有一阶连续偏导数，贝IJ
ux,v，vx,y在区
域D内是可微的。因此在使用充要条件证明时，只要能说明u,v具有一阶连续偏导且满足CR条件时，函数f(z)uiv—定是可导或解析的。
解析映射的几何意义
保角性任何两条相交曲线的夹角(即在交点的切线的夹角)在解析映射下的夹角保持不变
第四章柯西定理和柯西公式
fzdzl)
ccclfzdz(c与c的方向相反)：
ccl
[fzgz]dzfzdzgzdz,,2)是常数：
若曲线c由cl与c2连接而成，
ccfzdzfzdzfzdzclc2o
fzdzudxvdyivdxudy1)化为线积分：(常用于理论证明)
c2)参数方法设曲线c
zzt(t),其中对应曲线C的起点，对
应曲线C的终点，则C
积分与路径无关的条件和原函数1)条件见书中定理(1)(2)命题(1)(2)这几个定理及命题都只有理论上的意义。柯西-
fzdzf[zt]z(t)dt设
fz在单连域B内解析，c为B内任一闭曲线，则
fzdzOc
复合闭路定理设
fz在多连域D内解析，c为D内任意一条简单闭曲线，
cl,c2,cn是c内的简单闭曲线，它们互不包含互不相交，并且以cl,c2,cn为边界的区域全含于D内，则
①
fzdz,fzdzcnklck其中c与ck均取正向；
②
fzdzOlcc,其中由及(kl,2,n)所组成的复合闭路。
闭路变形原理一个在区域D内的解析函数
fz沿闭曲线c的积分，不
因c在D内作连续变形而改变它的值，只要在变形过程中c不经过使的奇点。
解析函数沿非闭曲线的积分设
fz不解析
fzGzfz在单连域B内解析，为在B(zl,z2B)内的一个原函数，则
说明解析函数数即可。
柯西积分公式设
z2zlfzdzGz2Gzl
fz沿非闭曲线的积分与积分路径无关，计算时只要求出原函
fz在区域D内解析，c为D内任一正向简单闭曲线，cfzdz2ifzOczzzO的内部完全属于D,0为c内任意一点，
fz的导数仍为解析函数，它的n阶导数为fz2indzc(zzO)nln!fzO其中c为
(nl,2)
fz的解析区域D内围绕zO的任何一条正向简单闭曲线，而且它的内
部完全属于D。10重要结论
2i,ldznl(za)0,cn0n0o(c是包含a的任意正向简单闭曲线)
复变函数积分的计算方法1)若2)设
fzfz在区域D内处处不解析，用一般积分法在区域D内解析，
cfzdzf[zt]ztdt
cc是D内一条正向简单闭曲线，则由柯西古萨定理，fzdzO
c是D内的一条非闭曲线，zl,z2对应曲线c的起点和终点，则有
cfzdzz2zlfzdzFz2Fzl
3）设
fz在区域D内不解析
fzdz2ifzOczzOfz2indzfzOc（zz）nln!0曲线c内仅有一个奇点（f（z）在c内解析）
曲线c内有多于一个奇点cnfzdzfzdzklckkn（ci内只有一个奇点zk）
或
fzdz2iRes[f（z）zz]ckl（留数基本定理）
fznl（zz）。若被积函数不能表示成，则须改用第五章留数定理来计算。
在柯西定理的基础上还有莫拉雷定理，柯西不等式，刘维尔定理最大模原理
解析函数的模不能再区域内达到极大值，除非它是一个常函数
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第一章复数
li2=-lil欧拉公式z=x+iy
实部Rez虚部Imz
255W®zlz2RezlRez2lmzlImz2
②zlz2Rezlz2lmzlz2RezlRez2lmzlImz2
zlz2③
xliylx2iy2xlx2ixly2ix2ylyly2xlx2yly2ixly2x2yl
④Zlzlz2xliylx2iy2xlx2yly2ylx2xly2i2222z2z2z2x2iy2x2iy2x2y2x2y2（5）zxiy共鲍复数
zzxiyxiyx2y2共辆技巧
运算律P1页
3代数，几何表示
zxiyz与平面点X,v对应，与向量对应
辐角当z和时，向量z和x轴正向之间的夹角6,记作6=Argz=02kk=±l±2±3...
把位于-n<0^n的0叫做Argz辐角主值记作0=argz