文档介绍：第一章复数与复变函数
一、复数几种表示
1）代数表示zxyi
2）几何表示：用复平面上点表示
（复数z、点z、向量z视为同一观点）
（3）三角式：
计算方法：
（1）第二类曲线积分计算
（2）化为普通定积分
重要结果：
1
dz
2i,n1
|zz0
|r
n
（n为随意整数）
0,n1
(zz0)
二、柯西积分定理
定理1（柯西积分定理）设f(z)在单连通地区D内解析，C为D内随意一条简单闭曲
线，则f(z)dz0。
C
注：条件变为f(z)在单连通地区D内解析，在D的边界C上连续，结论建立，即
f(z)dz0。
C
定理2设f(z)在单连通地区D内解析，则积分与路径无关。
zz
记积分为f(z)dz，或f( )d
z0z0
原函数定义
z
f( )d
是f(z)的原函数。
结论：F(z)
z0
z1
(
)
(
)（条件：
是解析函数）
( )
f(z)
fzdz
F
z1
F
z0
z0
定理3（闭路变形原理）（柯西积分定理推广到多连通地区）
C1,C2是两条简单闭曲线，C2在C1内部，f(z)在C1,C2所围地区D内解析，在C1,C2上
连续，则
注：定理3说明：地区内的解析函数沿闭曲线的积分，不因闭曲线在地区内的连续变
动而改变它的值。
三、柯西积分公式
定理1（柯西积分公式）f(z)在简单闭曲线C上连续，C的内部解析（即单连通地区D内解析），z0是C的内部一点，则
注：（1）D为多连通地区时，公式仍建立。
（2）提供了计算积分的一种方法。
推论1（平均值公式）设f(z)在|zz0|R内解析，在|zz0|R上连续，则
定理2（最大模原理）设f(z)在地区D内解析，又f(z)不是常数，则在D内|f(z)|没
有最大值。
推论1地区D内的解析函数，若其模在D内一点达到最大值，则此函数被常数。（定
理2的逆否命题）
四、解析函数的高阶导数
定理1（解析函数的高阶导数）设在C上连续，则f(z)的各阶导数均在

f(z)在简单闭曲线
D内解析，且对D内

C所围的单连通地区z有

D内解析，
f(n)(z)
n!
f( )
d，或
C(
f( )
d
2if(n)(z)
2iC(
z)n1
z)n1
n!
注：由柯西积分公式f( )d2if(z)求导即得。
z